Theorem atcvr0eq 33730

Description: The covers relation is not transitive. (atcv0eq 28622 analog.) (Contributed by NM, 29-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcvr0eq.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atcvr0eq.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atcvr0eq.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvr0eq.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvr0eq	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcvr0eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvr0eq.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		atcvr0eq.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		atcvr0eq.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	atcvr1 33721	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
5		atcvr0eq.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	5, 2, 3	atcvr0 33593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
7	6	3adant3 1074	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 𝐶𝑃)
8	7	biantrurd 528	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))))
9	4, 8	bitrd 267	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))))
10		simp1 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlop 33667	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	11	3ad2ant1 1075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 5	op0cl 33489	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
16	13, 3	atbase 33594	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17	16	3ad2ant2 1076	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
18	13, 1, 3	hlatjcl 33671	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
19	13, 2	cvrntr 33729	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
20	10, 15, 17, 18, 19	syl13anc 1320	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (( 0 𝐶𝑃 ∧ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
21	9, 20	sylbid 229	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ¬ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
22	21	necon4ad 2801	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑃 = 𝑄))
23	1, 3	hlatjidm 33673	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
24	23	3adant3 1074	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
25	7, 24	breqtrrd 4611	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑃))
26		oveq2 6557	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑄))
27	26	breq2d 4595	. . 3 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑃) ↔ 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
28	25, 27	syl5ibcom 234	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
29	22, 28	impbid 201	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  joincjn 16767  0.cp0 16860  OPcops 33477   ⋖ ccvr 33567  Atomscatm 33568  HLchlt 33655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656

This theorem is referenced by:  atcvrj0  33732