Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvr0eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvr0eq 33730
 Description: The covers relation is not transitive. (atcv0eq 28622 analog.) (Contributed by NM, 29-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvr0eq.j = (join‘𝐾)
atcvr0eq.z 0 = (0.‘𝐾)
atcvr0eq.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvr0eq.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atcvr0eq ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem atcvr0eq
StepHypRef Expression
1 atcvr0eq.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
2 atcvr0eq.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3 atcvr0eq.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3atcvr1 33721 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄𝑃𝐶(𝑃 𝑄)))
5 atcvr0eq.z . . . . . . . 8 0 = (0.‘𝐾)
65, 2, 3atcvr0 33593 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → 0 𝐶𝑃)
763adant3 1074 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 𝐶𝑃)
87biantrurd 528 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝐶(𝑃 𝑄) ↔ ( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄))))
94, 8bitrd 267 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ ( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄))))
10 simp1 1054 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlop 33667 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12113ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 5op0cl 33489 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
1613, 3atbase 33594 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17163ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1813, 1, 3hlatjcl 33671 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
1913, 2cvrntr 33729 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2010, 15, 17, 18, 19syl13anc 1320 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (( 0 𝐶𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑄)) → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
219, 20sylbid 229 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → ¬ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2221necon4ad 2801 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) → 𝑃 = 𝑄))
231, 3hlatjidm 33673 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
24233adant3 1074 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
257, 24breqtrrd 4611 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 0 𝐶(𝑃 𝑃))
26 oveq2 6557 . . . 4 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑃) = (𝑃 𝑄))
2726breq2d 4595 . . 3 (𝑃 = 𝑄 → ( 0 𝐶(𝑃 𝑃) ↔ 0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2825, 27syl5ibcom 234 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 = 𝑄0 𝐶(𝑃 𝑄)))
2922, 28impbid 201 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ( 0 𝐶(𝑃 𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  joincjn 16767  0.cp0 16860  OPcops 33477   ⋖ ccvr 33567  Atomscatm 33568  HLchlt 33655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656 This theorem is referenced by:  atcvrj0  33732
 Copyright terms: Public domain W3C validator