Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olm01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olm01 33541
Description: Meet with lattice zero is zero. (chm0 27734 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
olm0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm0.m = (meet‘𝐾)
olm0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olm01 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 0 )

Proof of Theorem olm01
StepHypRef Expression
1 olm0.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2610 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 ollat 33518 . . 3 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
43adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simpr 476 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
6 olop 33519 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
76adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
8 olm0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
91, 8op0cl 33489 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
107, 9syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
11 olm0.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
121, 11latmcl 16875 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) ∈ 𝐵)
134, 5, 10, 12syl3anc 1318 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) ∈ 𝐵)
141, 2, 11latmle2 16900 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 )(le‘𝐾) 0 )
154, 5, 10, 14syl3anc 1318 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 )(le‘𝐾) 0 )
161, 2, 8op0le 33491 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
176, 16sylan 487 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
181, 2latref 16876 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0𝐵) → 0 (le‘𝐾) 0 )
194, 10, 18syl2anc 691 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾) 0 )
201, 2, 11latlem12 16901 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 0𝐵𝑋𝐵0𝐵)) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋0 (le‘𝐾) 0 ) ↔ 0 (le‘𝐾)(𝑋 0 )))
214, 10, 5, 10, 20syl13anc 1320 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋0 (le‘𝐾) 0 ) ↔ 0 (le‘𝐾)(𝑋 0 )))
2217, 19, 21mpbi2and 958 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)(𝑋 0 ))
231, 2, 4, 13, 10, 15, 22latasymd 16880 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  meetcmee 16768  0.cp0 16860  Latclat 16868  OPcops 33477  OLcol 33479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-oposet 33481  df-ol 33483
This theorem is referenced by:  olm02  33542  omlfh1N  33563
  Copyright terms: Public domain W3C validator