Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem3 35373
 Description: Lemma for dia2dim 35384. Define a translation 𝐷 whose trace is atom 𝑉. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem3.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem3.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem3.m = (meet‘𝐾)
dia2dimlem3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem3.q 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
dia2dimlem3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem3.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem3.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem3.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dia2dimlem3.f (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem3.rf (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
dia2dimlem3.uv (𝜑𝑈𝑉)
dia2dimlem3.ru (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
dia2dimlem3.rv (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem3.d (𝜑𝐷𝑇)
dia2dimlem3.dv (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem3 (𝜑 → (𝑅𝐷) = 𝑉)

Proof of Theorem dia2dimlem3
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem3.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21simpld 474 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ HL)
3 dia2dimlem3.f . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
43simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑇)
5 dia2dimlem3.p . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
6 dia2dimlem3.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
7 dia2dimlem3.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 dia2dimlem3.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 dia2dimlem3.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
106, 7, 8, 9ltrnel 34443 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
111, 4, 5, 10syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
1211simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
13 dia2dimlem3.v . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
1413simpld 474 . . . . . 6 (𝜑𝑉𝐴)
15 dia2dimlem3.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
166, 15, 7hlatlej2 33680 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → 𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉))
172, 12, 14, 16syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉))
18 hllat 33668 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
192, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
20 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2120, 7atbase 33594 . . . . . . 7 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2214, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2320, 15, 7hlatjcl 33671 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
242, 12, 14, 23syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
25 dia2dimlem3.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
266, 7, 8, 9, 25trlat 34474 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
271, 5, 3, 26syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
28 dia2dimlem3.u . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
2928simpld 474 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐴)
3020, 15, 7hlatjcl 33671 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑈𝐴) → ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
312, 27, 29, 30syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
32 dia2dimlem3.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
3320, 6, 32latmlem2 16905 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉) → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))))
3419, 22, 24, 31, 33syl13anc 1320 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉) → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))))
3517, 34mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
36 dia2dimlem3.rf . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
3715, 7hlatjcom 33672 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴𝑉𝐴) → (𝑈 𝑉) = (𝑉 𝑈))
382, 29, 14, 37syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 𝑉) = (𝑉 𝑈))
3936, 38breqtrd 4609 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑉 𝑈))
40 dia2dimlem3.ru . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
416, 15, 7hlatexch2 33700 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑉𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑈) → ((𝑅𝐹) (𝑉 𝑈) → 𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈)))
422, 27, 14, 29, 40, 41syl131anc 1331 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐹) (𝑉 𝑈) → 𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈)))
4339, 42mpd 15 . . . . 5 (𝜑𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈))
4420, 6, 32latleeqm2 16903 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈) ↔ (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉))
4519, 22, 31, 44syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈) ↔ (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉))
4643, 45mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉)
47 dia2dimlem3.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑇)
48 dia2dimlem3.q . . . . . . 7 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
49 dia2dimlem3.uv . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
506, 15, 32, 7, 8, 9, 25, 48, 1, 28, 13, 5, 3, 36, 49, 40dia2dimlem1 35371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
516, 15, 32, 7, 8, 9, 25trlval2 34468 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇 ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑅𝐷) = ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊))
521, 47, 50, 51syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝐷) = ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊))
5348a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
54 dia2dimlem3.dv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
5553, 54oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 (𝐷𝑄)) = (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)))
565simpld 474 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝐴)
5720, 15, 7hlatjcl 33671 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
582, 56, 29, 57syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
596, 15, 7hlatlej1 33679 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉))
602, 12, 14, 59syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉))
6120, 6, 15, 32, 7atmod4i1 34170 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉)) → (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)) = (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
622, 12, 58, 24, 60, 61syl131anc 1331 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)) = (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6315, 7hlatj32 33676 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑈𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)) → ((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈))
642, 56, 29, 12, 63syl13anc 1320 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈))
6564oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6655, 62, 653eqtrd 2648 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 (𝐷𝑄)) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6766oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
68 hlol 33666 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
692, 68syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ OL)
7020, 15, 7hlatjcl 33671 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
712, 56, 12, 70syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
7220, 7atbase 33594 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7329, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7420, 15latjcl 16874 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
7519, 71, 73, 74syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
761simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝐻)
7720, 8lhpbase 34302 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7920, 32latm32 33536 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
8069, 75, 24, 78, 79syl13anc 1320 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
816, 15, 32, 7, 8, 9, 25trlval2 34468 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
821, 4, 5, 81syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
8382oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈))
8428simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 𝑊)
8520, 6, 15, 32, 7atmod4i1 34170 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑈 𝑊) → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊))
862, 29, 71, 78, 84, 85syl131anc 1331 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊))
8783, 86eqtr2d 2645 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) = ((𝑅𝐹) 𝑈))
8887oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
8967, 80, 883eqtrd 2648 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊) = (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
9052, 89eqtr2d 2645 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (𝑅𝐷))
9135, 46, 903brtr3d 4614 . . 3 (𝜑𝑉 (𝑅𝐷))
92 hlatl 33665 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
932, 92syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ AtLat)
94 hlop 33667 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
952, 94syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ OP)
96 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
97 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
9896, 97, 70ltat 33596 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑉𝐴) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉)
9995, 14, 98syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉)
100 hlpos 33670 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
1012, 100syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
10220, 96op0cl 33489 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10395, 102syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10420, 8, 9, 25trlcl 34469 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇) → (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))
1051, 47, 104syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))
10620, 6, 97pltletr 16794 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉𝑉 (𝑅𝐷)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷)))
107101, 103, 22, 105, 106syl13anc 1320 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉𝑉 (𝑅𝐷)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷)))
10899, 91, 107mp2and 711 . . . . . . 7 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷))
10920, 97, 96opltn0 33495 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷) ↔ (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾)))
11095, 105, 109syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷) ↔ (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾)))
111108, 110mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾))
112111neneqd 2787 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾))
11396, 7, 8, 9, 25trlator0 34476 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇) → ((𝑅𝐷) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾)))
1141, 47, 113syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝐷) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾)))
115114orcomd 402 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐷) = (0.‘𝐾) ∨ (𝑅𝐷) ∈ 𝐴))
116115ord 391 . . . . 5 (𝜑 → (¬ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾) → (𝑅𝐷) ∈ 𝐴))
117112, 116mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑅𝐷) ∈ 𝐴)
1186, 7atcmp 33616 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑉𝐴 ∧ (𝑅𝐷) ∈ 𝐴) → (𝑉 (𝑅𝐷) ↔ 𝑉 = (𝑅𝐷)))
11993, 14, 117, 118syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑉 (𝑅𝐷) ↔ 𝑉 = (𝑅𝐷)))
12091, 119mpbid 221 . 2 (𝜑𝑉 = (𝑅𝐷))
121120eqcomd 2616 1 (𝜑 → (𝑅𝐷) = 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  Posetcpo 16763  ltcplt 16764  joincjn 16767  meetcmee 16768  0.cp0 16860  Latclat 16868  OPcops 33477  OLcol 33479  Atomscatm 33568  AtLatcal 33569  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  trLctrl 34463 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464 This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  35375
 Copyright terms: Public domain W3C validator