Theorem hlatjcom 33672

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 16882 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 33668	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 33594	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 33594	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 16882	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1360	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  joincjn 16767  Latclat 16868  Atomscatm 33568  HLchlt 33655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-lub 16797  df-join 16799  df-lat 16869  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656

This theorem is referenced by:  hlatj12  33675  hlatjrot  33677  hlatlej2  33680  atbtwnex  33752  3noncolr2  33753  hlatcon2  33756  3dimlem2  33763  3dimlem3  33765  3dimlem3OLDN  33766  3dimlem4  33768  3dimlem4OLDN  33769  ps-1  33781  hlatexch4  33785  lplnribN  33855  4atlem10  33910  4atlem11  33913  dalemswapyz  33960  dalem-cly  33975  dalemswapyzps  33994  dalem24  34001  dalem25  34002  dalem44  34020  2llnma1  34091  2llnma3r  34092  2llnma2rN  34094  llnexchb2  34173  dalawlem4  34178  dalawlem5  34179  dalawlem9  34183  dalawlem11  34185  dalawlem12  34186  dalawlem15  34189  4atexlemex2  34375  4atexlemcnd  34376  ltrncnv  34450  trlcnv  34470  cdlemc6  34501  cdleme7aa  34547  cdleme12  34576  cdleme15a  34579  cdleme15c  34581  cdleme17c  34593  cdlemeda  34603  cdleme20yOLD  34608  cdleme19a  34609  cdleme19e  34613  cdleme20bN  34616  cdleme20g  34621  cdleme20m  34629  cdleme21c  34633  cdleme22f  34652  cdleme22g  34654  cdleme35b  34756  cdleme35f  34760  cdleme37m  34768  cdleme39a  34771  cdleme42h  34788  cdleme43aN  34795  cdleme43bN  34796  cdleme43dN  34798  cdleme46f2g2  34799  cdleme46f2g1  34800  cdlemeg46c  34819  cdlemeg46nlpq  34823  cdlemeg46ngfr  34824  cdlemeg46rgv  34834  cdlemeg46gfv  34836  cdlemg2kq  34908  cdlemg4a  34914  cdlemg4d  34919  cdlemg4  34923  cdlemg8c  34935  cdlemg11aq  34944  cdlemg10a  34946  cdlemg12g  34955  cdlemg12  34956  cdlemg13  34958  cdlemg17pq  34978  cdlemg18b  34985  cdlemg18c  34986  cdlemg19  34990  cdlemg21  34992  cdlemk7  35154  cdlemk7u  35176  cdlemkfid1N  35227  dia2dimlem1  35371  dia2dimlem3  35373  dihjatcclem3  35727  dihjat  35730