Theorem hlatlej1 33679

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 16883 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 33668	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 33594	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 33594	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 16883	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1360	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  Latclat 16868  Atomscatm 33568  HLchlt 33655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-lub 16797  df-join 16799  df-lat 16869  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656

This theorem is referenced by:  hlatlej2  33680  cvratlem  33725  cvrat4  33747  ps-2  33782  lplnllnneN  33860  dalem1  33963  lnatexN  34083  lncmp  34087  2atm2atN  34089  2llnma3r  34092  dalawlem3  34177  dalawlem6  34180  dalawlem7  34181  dalawlem12  34186  trlval4  34493  cdlemc5  34500  cdlemc6  34501  cdlemd3  34505  cdleme0cp  34519  cdleme3h  34540  cdleme5  34545  cdleme9  34558  cdleme11c  34566  cdleme15b  34580  cdleme17b  34592  cdleme19a  34609  cdleme20c  34617  cdleme20j  34624  cdleme21c  34633  cdleme22b  34647  cdleme22d  34649  cdleme22e  34650  cdleme22eALTN  34651  cdleme35e  34759  cdleme35f  34760  cdleme42a  34777  cdleme17d2  34801  cdlemeg46req  34835  cdlemg13a  34957  cdlemg17a  34967  cdlemg18b  34985  cdlemg27a  34998  trlcoabs2N  35028  cdlemg42  35035  cdlemk4  35140  cdlemk1u  35165  cdlemk39  35222  dia2dimlem1  35371  dia2dimlem2  35372  dia2dimlem3  35373  cdlemm10N  35425  cdlemn10  35513  dihjatcclem1  35725