Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatlej2 33680
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 16884 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l = (le‘𝐾)
hlatlej.j = (join‘𝐾)
hlatlej.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatlej2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄 (𝑃 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2
StepHypRef Expression
1 hlatlej.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 hlatlej.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 hlatlej.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3hlatlej1 33679 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑃𝐴) → 𝑄 (𝑄 𝑃))
543com23 1263 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄 (𝑄 𝑃))
62, 3hlatjcom 33672 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
75, 6breqtrrd 4611 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄 (𝑃 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  lecple 15775  joincjn 16767  Atomscatm 33568  HLchlt 33655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-lub 16797  df-join 16799  df-lat 16869  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656
This theorem is referenced by:  2llnne2N  33712  cvrat3  33746  cvrat4  33747  hlatexch3N  33784  hlatexch4  33785  dalem3  33968  dalem25  34002  lnatexN  34083  lncmp  34087  2llnma3r  34092  paddasslem5  34128  dalawlem3  34177  dalawlem6  34180  dalawlem7  34181  dalawlem12  34186  lhp2atne  34338  lhp2at0ne  34340  4atexlemunv  34370  cdlemc2  34497  cdlemc5  34500  cdleme3h  34540  cdleme7  34554  cdleme9  34558  cdleme11c  34566  cdleme11dN  34567  cdleme11j  34572  cdleme16b  34584  cdleme17b  34592  cdleme18a  34596  cdleme18b  34597  cdleme18c  34598  cdleme20yOLD  34608  cdleme19a  34609  cdleme20d  34618  cdleme20j  34624  cdleme21ct  34635  cdleme22a  34646  cdleme22e  34650  cdleme22eALTN  34651  cdleme35b  34756  cdlemg9a  34938  cdlemg12a  34949  cdlemg13a  34957  cdlemg17a  34967  cdlemg17g  34973  cdlemg18c  34986  cdlemg33b0  35007  cdlemg46  35041  cdlemh1  35121  cdlemh  35123  cdlemk4  35140  cdlemki  35147  cdlemksv2  35153  cdlemk12  35156  cdlemk15  35161  cdlemk12u  35178  cdlemkid1  35228  dia2dimlem1  35371  dia2dimlem3  35373  cdlemn10  35513  dihjatcclem1  35725
  Copyright terms: Public domain W3C validator