Theorem latm32 33536

Description: A rearrangement of lattice meet. (in12 3786 analog.) (Contributed by NM, 13-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olmass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olmass.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latm32	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑍) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ 𝑌))

Proof of Theorem latm32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 33518	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2		olmass.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		olmass.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	2, 3	latmcom 16898	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑍) = (𝑍 ∧ 𝑌))
5	1, 4	syl3an1 1351	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑍) = (𝑍 ∧ 𝑌))
6	5	3adant3r1 1266	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑍) = (𝑍 ∧ 𝑌))
7	6	oveq2d 6565	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ 𝑌)))
8	2, 3	latmassOLD 33534	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑍) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ 𝑍)))
9		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
10		simpr1 1060	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		simpr3 1062	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
12		simpr2 1061	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	2, 3	latmassOLD 33534	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ 𝑌)))
14	9, 10, 11, 12, 13	syl13anc 1320	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ 𝑌)))
15	7, 8, 14	3eqtr4d 2654	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑍) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  meetcmee 16768  Latclat 16868  OLcol 33479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-lat 16869  df-oposet 33481  df-ol 33483

This theorem is referenced by:  cdleme20d  34618  dia2dimlem3  35373