Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0cl Structured version   Unicode version

Theorem op0cl 33999
Description: An orthoposet has a zero element. (h0elch 25877 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0cl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
op0cl.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
Assertion
Ref Expression
op0cl  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem op0cl
StepHypRef Expression
1 op0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
3 op0cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
41, 2, 3p0val 15528 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  =  ( ( glb `  K ) `  B
) )
5 id 22 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  OP )
6 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
71, 6, 2op01dm 33998 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  ( B  e.  dom  ( lub `  K )  /\  B  e.  dom  ( glb `  K
) ) )
87simprd 463 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  B  e.  dom  ( glb `  K
) )
91, 2, 5, 8glbcl 15485 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (
( glb `  K
) `  B )  e.  B )
104, 9eqeltrd 2555 1  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   dom cdm 4999   ` cfv 5588   Basecbs 14490   lubclub 15429   glbcglb 15430   0.cp0 15524   OPcops 33987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-glb 15462  df-p0 15526  df-oposet 33991
This theorem is referenced by:  ople0  34002  lub0N  34004  opltn0  34005  opoc1  34017  opoc0  34018  olj01  34040  olj02  34041  olm01  34051  olm02  34052  0ltat  34106  leatb  34107  hlhgt2  34203  hl0lt1N  34204  hl2at  34219  atcvr0eq  34240  lnnat  34241  atle  34250  athgt  34270  1cvratex  34287  ps-2  34292  dalemcea  34474  pmapeq0  34580  2atm2atN  34599  lhp0lt  34817  lhpn0  34818  ltrnatb  34951  ltrnmw  34965  cdleme3c  35044  cdleme7e  35061  dia0eldmN  35855  dia2dimlem2  35880  dia2dimlem3  35881  dib0  35979  dih0  36095  dih0bN  36096  dih0rn  36099  dihlspsnssN  36147  dihlspsnat  36148  dihatexv  36153
  Copyright terms: Public domain W3C validator