Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0cl Structured version   Unicode version

Theorem op0cl 32399
Description: An orthoposet has a zero element. (h0elch 24480 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0cl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
op0cl.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
Assertion
Ref Expression
op0cl  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem op0cl
StepHypRef Expression
1 op0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2433 . . 3  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
3 op0cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
41, 2, 3p0val 15193 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  =  ( ( glb `  K ) `  B
) )
5 id 22 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  OP )
6 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
71, 6, 2op01dm 32398 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  ( B  e.  dom  ( lub `  K )  /\  B  e.  dom  ( glb `  K
) ) )
87simprd 460 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  B  e.  dom  ( glb `  K
) )
91, 2, 5, 8glbcl 15150 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (
( glb `  K
) `  B )  e.  B )
104, 9eqeltrd 2507 1  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   dom cdm 4827   ` cfv 5406   Basecbs 14156   lubclub 15094   glbcglb 15095   0.cp0 15189   OPcops 32387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-glb 15127  df-p0 15191  df-oposet 32391
This theorem is referenced by:  ople0  32402  lub0N  32404  opltn0  32405  opoc1  32417  opoc0  32418  olj01  32440  olj02  32441  olm01  32451  olm02  32452  0ltat  32506  leatb  32507  hlhgt2  32603  hl0lt1N  32604  hl2at  32619  atcvr0eq  32640  lnnat  32641  atle  32650  athgt  32670  1cvratex  32687  ps-2  32692  dalemcea  32874  pmapeq0  32980  2atm2atN  32999  lhp0lt  33217  lhpn0  33218  ltrnatb  33351  ltrnmw  33365  cdleme3c  33444  cdleme7e  33461  dia0eldmN  34255  dia2dimlem2  34280  dia2dimlem3  34281  dib0  34379  dih0  34495  dih0bN  34496  dih0rn  34499  dihlspsnssN  34547  dihlspsnat  34548  dihatexv  34553
  Copyright terms: Public domain W3C validator