Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0cl Structured version   Unicode version

Theorem op0cl 32925
Description: An orthoposet has a zero element. (h0elch 24680 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0cl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
op0cl.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
Assertion
Ref Expression
op0cl  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem op0cl
StepHypRef Expression
1 op0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
3 op0cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
41, 2, 3p0val 15232 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  =  ( ( glb `  K ) `  B
) )
5 id 22 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  OP )
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
71, 6, 2op01dm 32924 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  ( B  e.  dom  ( lub `  K )  /\  B  e.  dom  ( glb `  K
) ) )
87simprd 463 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  B  e.  dom  ( glb `  K
) )
91, 2, 5, 8glbcl 15189 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (
( glb `  K
) `  B )  e.  B )
104, 9eqeltrd 2517 1  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   dom cdm 4861   ` cfv 5439   Basecbs 14195   lubclub 15133   glbcglb 15134   0.cp0 15228   OPcops 32913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-glb 15166  df-p0 15230  df-oposet 32917
This theorem is referenced by:  ople0  32928  lub0N  32930  opltn0  32931  opoc1  32943  opoc0  32944  olj01  32966  olj02  32967  olm01  32977  olm02  32978  0ltat  33032  leatb  33033  hlhgt2  33129  hl0lt1N  33130  hl2at  33145  atcvr0eq  33166  lnnat  33167  atle  33176  athgt  33196  1cvratex  33213  ps-2  33218  dalemcea  33400  pmapeq0  33506  2atm2atN  33525  lhp0lt  33743  lhpn0  33744  ltrnatb  33877  ltrnmw  33891  cdleme3c  33970  cdleme7e  33987  dia0eldmN  34781  dia2dimlem2  34806  dia2dimlem3  34807  dib0  34905  dih0  35021  dih0bN  35022  dih0rn  35025  dihlspsnssN  35073  dihlspsnat  35074  dihatexv  35079
  Copyright terms: Public domain W3C validator