Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0cl Structured version   Unicode version

Theorem op0cl 35306
Description: An orthoposet has a zero element. (h0elch 26371 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0cl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
op0cl.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
Assertion
Ref Expression
op0cl  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem op0cl
StepHypRef Expression
1 op0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
3 op0cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
41, 2, 3p0val 15870 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  =  ( ( glb `  K ) `  B
) )
5 id 22 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  OP )
6 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
71, 6, 2op01dm 35305 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  ( B  e.  dom  ( lub `  K )  /\  B  e.  dom  ( glb `  K
) ) )
87simprd 461 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  B  e.  dom  ( glb `  K
) )
91, 2, 5, 8glbcl 15827 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (
( glb `  K
) `  B )  e.  B )
104, 9eqeltrd 2542 1  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   dom cdm 4988   ` cfv 5570   Basecbs 14716   lubclub 15770   glbcglb 15771   0.cp0 15866   OPcops 35294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-glb 15804  df-p0 15868  df-oposet 35298
This theorem is referenced by:  ople0  35309  lub0N  35311  opltn0  35312  opoc1  35324  opoc0  35325  olj01  35347  olj02  35348  olm01  35358  olm02  35359  0ltat  35413  leatb  35414  hlhgt2  35510  hl0lt1N  35511  hl2at  35526  atcvr0eq  35547  lnnat  35548  atle  35557  athgt  35577  1cvratex  35594  ps-2  35599  dalemcea  35781  pmapeq0  35887  2atm2atN  35906  lhp0lt  36124  lhpn0  36125  ltrnatb  36258  ltrnmwOLD  36273  cdleme3c  36352  cdleme7e  36369  dia0eldmN  37164  dia2dimlem2  37189  dia2dimlem3  37190  dib0  37288  dih0  37404  dih0bN  37405  dih0rn  37408  dihlspsnssN  37456  dihlspsnat  37457  dihatexv  37462
  Copyright terms: Public domain W3C validator