Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odid 17780
 Description: Any element to the power of its order is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odid (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem odid
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . . 4 ((𝑂𝐴) = 0 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2 odcl.1 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odid.4 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
4 odid.3 . . . . 5 · = (.g𝐺)
52, 3, 4mulg0 17369 . . . 4 (𝐴𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
61, 5sylan9eqr 2666 . . 3 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
76adantrr 749 . 2 ((𝐴𝑋 ∧ ((𝑂𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅)) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
8 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑂𝐴) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
98eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑦 = (𝑂𝐴) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
109elrab 3331 . . . 4 ((𝑂𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∧ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
1110simprbi 479 . . 3 ((𝑂𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
1211adantl 481 . 2 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
13 odcl.2 . . 3 𝑂 = (od‘𝐺)
14 eqid 2610 . . 3 {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
152, 4, 3, 13, 14odlem1 17777 . 2 (𝐴𝑋 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }))
167, 12, 15mpjaodan 823 1 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℕcn 10897  Basecbs 15695  0gc0g 15923  .gcmg 17363  odcod 17767 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-mulg 17364  df-od 17771 This theorem is referenced by:  odmodnn0  17782  mndodconglem  17783  odmod  17788  odeq  17792  odeq1  17800  odf1  17802  chrid  19694
 Copyright terms: Public domain W3C validator