Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odeq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odeq1 17800
 Description: The group identity is the unique element of a group with order one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
od1.1 𝑂 = (od‘𝐺)
od1.2 0 = (0g𝐺)
odeq1.3 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
odeq1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 1 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem odeq1
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . . 4 ((𝑂𝐴) = 1 → ((𝑂𝐴)(.g𝐺)𝐴) = (1(.g𝐺)𝐴))
21eqcomd 2616 . . 3 ((𝑂𝐴) = 1 → (1(.g𝐺)𝐴) = ((𝑂𝐴)(.g𝐺)𝐴))
3 odeq1.3 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2610 . . . . . 6 (.g𝐺) = (.g𝐺)
53, 4mulg1 17371 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (1(.g𝐺)𝐴) = 𝐴)
6 od1.1 . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
7 od1.2 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
83, 6, 4, 7odid 17780 . . . . 5 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴)(.g𝐺)𝐴) = 0 )
95, 8eqeq12d 2625 . . . 4 (𝐴𝑋 → ((1(.g𝐺)𝐴) = ((𝑂𝐴)(.g𝐺)𝐴) ↔ 𝐴 = 0 ))
109adantl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((1(.g𝐺)𝐴) = ((𝑂𝐴)(.g𝐺)𝐴) ↔ 𝐴 = 0 ))
112, 10syl5ib 233 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 1 → 𝐴 = 0 ))
126, 7od1 17799 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑂0 ) = 1)
1312adantr 480 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂0 ) = 1)
14 fveq2 6103 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝑂𝐴) = (𝑂0 ))
1514eqeq1d 2612 . . 3 (𝐴 = 0 → ((𝑂𝐴) = 1 ↔ (𝑂0 ) = 1))
1613, 15syl5ibrcom 236 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝑂𝐴) = 1))
1711, 16impbid 201 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 1 ↔ 𝐴 = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363  odcod 17767 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mulg 17364  df-od 17771 This theorem is referenced by:  odcau  17842  prmcyg  18118  ablfacrp  18288
 Copyright terms: Public domain W3C validator