MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odeq1 Structured version   Unicode version

Theorem odeq1 16185
Description: The group identity is the unique element of a group with order one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
od1.1  |-  O  =  ( od `  G
)
od1.2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
odeq1.3  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
odeq1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  1  <-> 
A  =  .0.  )
)

Proof of Theorem odeq1
StepHypRef Expression
1 oveq1 6210 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  =  1  ->  (
( O `  A
) (.g `  G ) A )  =  ( 1 (.g `  G ) A ) )
21eqcomd 2462 . . 3  |-  ( ( O `  A )  =  1  ->  (
1 (.g `  G ) A )  =  ( ( O `  A ) (.g `  G ) A ) )
3 odeq1.3 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
53, 4mulg1 15756 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  (
1 (.g `  G ) A )  =  A )
6 od1.1 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
7 od1.2 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
83, 6, 4, 7odid 16165 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  (
( O `  A
) (.g `  G ) A )  =  .0.  )
95, 8eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  (
( 1 (.g `  G
) A )  =  ( ( O `  A ) (.g `  G
) A )  <->  A  =  .0.  ) )
109adantl 466 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( 1 (.g `  G ) A )  =  ( ( O `
 A ) (.g `  G ) A )  <-> 
A  =  .0.  )
)
112, 10syl5ib 219 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  1  ->  A  =  .0.  ) )
126, 7od1 16184 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( O `  .0.  )  =  1 )
1312adantr 465 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  .0.  )  =  1 )
14 fveq2 5802 . . . 4  |-  ( A  =  .0.  ->  ( O `  A )  =  ( O `  .0.  ) )
1514eqeq1d 2456 . . 3  |-  ( A  =  .0.  ->  (
( O `  A
)  =  1  <->  ( O `  .0.  )  =  1 ) )
1613, 15syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =  .0. 
->  ( O `  A
)  =  1 ) )
1711, 16impbid 191 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  1  <-> 
A  =  .0.  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1c1 9397   Basecbs 14295   0gc0g 14500   Grpcgrp 15532  .gcmg 15536   odcod 16152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-seq 11927  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-mulg 15670  df-od 16156
This theorem is referenced by:  odcau  16227  prmcyg  16494  ablfacrp  16692
  Copyright terms: Public domain W3C validator