MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odeq1 Structured version   Unicode version

Theorem odeq1 16784
Description: The group identity is the unique element of a group with order one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
od1.1  |-  O  =  ( od `  G
)
od1.2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
odeq1.3  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
odeq1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  1  <-> 
A  =  .0.  )
)

Proof of Theorem odeq1
StepHypRef Expression
1 oveq1 6277 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  =  1  ->  (
( O `  A
) (.g `  G ) A )  =  ( 1 (.g `  G ) A ) )
21eqcomd 2462 . . 3  |-  ( ( O `  A )  =  1  ->  (
1 (.g `  G ) A )  =  ( ( O `  A ) (.g `  G ) A ) )
3 odeq1.3 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
53, 4mulg1 16351 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  (
1 (.g `  G ) A )  =  A )
6 od1.1 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
7 od1.2 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
83, 6, 4, 7odid 16764 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  (
( O `  A
) (.g `  G ) A )  =  .0.  )
95, 8eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  (
( 1 (.g `  G
) A )  =  ( ( O `  A ) (.g `  G
) A )  <->  A  =  .0.  ) )
109adantl 464 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( 1 (.g `  G ) A )  =  ( ( O `
 A ) (.g `  G ) A )  <-> 
A  =  .0.  )
)
112, 10syl5ib 219 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  1  ->  A  =  .0.  ) )
126, 7od1 16783 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( O `  .0.  )  =  1 )
1312adantr 463 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  .0.  )  =  1 )
14 fveq2 5848 . . . 4  |-  ( A  =  .0.  ->  ( O `  A )  =  ( O `  .0.  ) )
1514eqeq1d 2456 . . 3  |-  ( A  =  .0.  ->  (
( O `  A
)  =  1  <->  ( O `  .0.  )  =  1 ) )
1613, 15syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =  .0. 
->  ( O `  A
)  =  1 ) )
1711, 16impbid 191 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  1  <-> 
A  =  .0.  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482   Basecbs 14719   0gc0g 14932   Grpcgrp 16255  .gcmg 16258   odcod 16751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-seq 12093  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-grp 16259  df-mulg 16262  df-od 16755
This theorem is referenced by:  odcau  16826  prmcyg  17098  ablfacrp  17315
  Copyright terms: Public domain W3C validator