Theorem prmcyg 18118

Description: A group with prime order is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prmcyg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem prmcyg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 15230	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
2		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)})
3		cygctb.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	3, 4	grpidcl 17273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
6	5	snssd 4281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
7	6	ad2antrr 758	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
8	2, 7	eqssd 3585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
9	8	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (#‘𝐵) = (#‘{(0g‘𝐺)}))
10		fvex 6113	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
11		hashsng 13020	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (#‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (#‘{(0g‘𝐺)}) = 1
13	9, 12	syl6eq 2660	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (#‘𝐵) = 1)
14		simplr 788	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (#‘𝐵) ∈ ℙ)
15	13, 14	eqeltrrd 2689	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 1 ∈ ℙ)
16	15	ex 449	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → (𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)} → 1 ∈ ℙ))
17	1, 16	mtoi 189	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → ¬ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)})
18		nss 3626	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)} ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
19	17, 18	sylib 207	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
20		eqid 2610	. . 3 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
21		simpll 786	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐺 ∈ Grp)
22		simprl 790	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simprr 792	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
24	20, 4, 3	odeq1 17800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺)))
25	21, 22, 24	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺)))
26		velsn 4141	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
27	25, 26	syl6bbr 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
28	23, 27	mtbird 314	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)
29		prmnn 15226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐵) ∈ ℙ → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
30	29	ad2antlr 759	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
31	30	nnnn0d 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
32		fvex 6113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
33	3, 32	eqeltri 2684	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
34		hashclb 13011	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
36	31, 35	sylibr 223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐵 ∈ Fin)
37	3, 20	oddvds2 17806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵))
38	21, 36, 22, 37	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵))
39		simplr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (#‘𝐵) ∈ ℙ)
40	3, 20	odcl2 17805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
41	21, 36, 22, 40	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
42		dvdsprime 15238	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐵) ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
43	39, 41, 42	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
44	38, 43	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
45	44	ord 391	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
46	28, 45	mt3d 139	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵))
47	3, 20, 21, 22, 46	iscygodd 18113	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐺 ∈ CycGrp)
48	19, 47	exlimddv 1850	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  1c1 9816  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  #chash 12979   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223  Basecbs 15695  0_gc0g 15923  Grpcgrp 17245  odcod 17767  CycGrpccyg 18102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-od 17771  df-cyg 18103

This theorem is referenced by:  lt6abl  18119