Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmcyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmcyg 18118
 Description: A group with prime order is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
prmcyg ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem prmcyg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nprm 15230 . . . 4 ¬ 1 ∈ ℙ
2 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)})
3 cygctb.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
53, 4grpidcl 17273 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
65snssd 4281 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵)
76ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵)
82, 7eqssd 3585 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → 𝐵 = {(0g𝐺)})
98fveq2d 6107 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → (#‘𝐵) = (#‘{(0g𝐺)}))
10 fvex 6113 . . . . . . . 8 (0g𝐺) ∈ V
11 hashsng 13020 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ V → (#‘{(0g𝐺)}) = 1)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘{(0g𝐺)}) = 1
139, 12syl6eq 2660 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → (#‘𝐵) = 1)
14 simplr 788 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → (#‘𝐵) ∈ ℙ)
1513, 14eqeltrrd 2689 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → 1 ∈ ℙ)
1615ex 449 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → (𝐵 ⊆ {(0g𝐺)} → 1 ∈ ℙ))
171, 16mtoi 189 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → ¬ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)})
18 nss 3626 . . 3 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)} ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
1917, 18sylib 207 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
20 eqid 2610 . . 3 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
21 simpll 786 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝐺 ∈ Grp)
22 simprl 790 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝑥𝐵)
23 simprr 792 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
2420, 4, 3odeq1 17800 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g𝐺)))
2521, 22, 24syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g𝐺)))
26 velsn 4141 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
2725, 26syl6bbr 277 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
2823, 27mtbird 314 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)
29 prmnn 15226 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐵) ∈ ℙ → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
3029ad2antlr 759 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
3130nnnn0d 11228 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
32 fvex 6113 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) ∈ V
333, 32eqeltri 2684 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
34 hashclb 13011 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
3631, 35sylibr 223 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝐵 ∈ Fin)
373, 20oddvds2 17806 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵))
3821, 36, 22, 37syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵))
39 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (#‘𝐵) ∈ ℙ)
403, 20odcl2 17805 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
4121, 36, 22, 40syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
42 dvdsprime 15238 . . . . . . 7 (((#‘𝐵) ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
4339, 41, 42syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
4438, 43mpbid 221 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
4544ord 391 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
4628, 45mt3d 139 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵))
473, 20, 21, 22, 46iscygodd 18113 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝐺 ∈ CycGrp)
4819, 47exlimddv 1850 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  1c1 9816  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  #chash 12979   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  odcod 17767  CycGrpccyg 18102 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-od 17771  df-cyg 18103 This theorem is referenced by:  lt6abl  18119
 Copyright terms: Public domain W3C validator