MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odid Structured version   Unicode version

Theorem odid 16886
Description: Any element to the power of its order is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
odid  |-  ( A  e.  X  ->  (
( O `  A
)  .x.  A )  =  .0.  )

Proof of Theorem odid
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6285 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  =  0  ->  (
( O `  A
)  .x.  A )  =  ( 0  .x. 
A ) )
2 odcl.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 odid.4 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 odid.3 . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
52, 3, 4mulg0 16471 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  (
0  .x.  A )  =  .0.  )
61, 5sylan9eqr 2465 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( ( O `  A )  .x.  A
)  =  .0.  )
76adantrr 715 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( ( O `  A )  =  0  /\  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( O `  A
)  .x.  A )  =  .0.  )
8 oveq1 6285 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( O `  A )  ->  (
y  .x.  A )  =  ( ( O `
 A )  .x.  A ) )
98eqeq1d 2404 . . . . 5  |-  ( y  =  ( O `  A )  ->  (
( y  .x.  A
)  =  .0.  <->  ( ( O `  A )  .x.  A )  =  .0.  ) )
109elrab 3207 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  <->  ( ( O `  A )  e.  NN  /\  ( ( O `  A ) 
.x.  A )  =  .0.  ) )
1110simprbi 462 . . 3  |-  ( ( O `  A )  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  (
( O `  A
)  .x.  A )  =  .0.  )
1211adantl 464 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  -> 
( ( O `  A )  .x.  A
)  =  .0.  )
13 odcl.2 . . 3  |-  O  =  ( od `  G
)
14 eqid 2402 . . 3  |-  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  =  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}
152, 4, 3, 13, 14odlem1 16883 . 2  |-  ( A  e.  X  ->  (
( ( O `  A )  =  0  /\  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  =  (/) )  \/  ( O `  A )  e.  {
y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  }
) )
167, 12, 15mpjaodan 787 1  |-  ( A  e.  X  ->  (
( O `  A
)  .x.  A )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2758   (/)c0 3738   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   0cc0 9522   NNcn 10576   Basecbs 14841   0gc0g 15054  .gcmg 16380   odcod 16873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-seq 12152  df-mulg 16384  df-od 16877
This theorem is referenced by:  odmodnn0  16888  mndodconglem  16889  odmod  16894  odeq  16898  odeq1  16906  odf1  16908  chrid  18864
  Copyright terms: Public domain W3C validator