MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odid Structured version   Unicode version

Theorem odid 16351
Description: Any element to the power of its order is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
odid  |-  ( A  e.  X  ->  (
( O `  A
)  .x.  A )  =  .0.  )

Proof of Theorem odid
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6282 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  =  0  ->  (
( O `  A
)  .x.  A )  =  ( 0  .x. 
A ) )
2 odcl.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 odid.4 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 odid.3 . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
52, 3, 4mulg0 15940 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  (
0  .x.  A )  =  .0.  )
61, 5sylan9eqr 2523 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( ( O `  A )  .x.  A
)  =  .0.  )
76adantrr 716 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( ( O `  A )  =  0  /\  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( O `  A
)  .x.  A )  =  .0.  )
8 oveq1 6282 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( O `  A )  ->  (
y  .x.  A )  =  ( ( O `
 A )  .x.  A ) )
98eqeq1d 2462 . . . . 5  |-  ( y  =  ( O `  A )  ->  (
( y  .x.  A
)  =  .0.  <->  ( ( O `  A )  .x.  A )  =  .0.  ) )
109elrab 3254 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  <->  ( ( O `  A )  e.  NN  /\  ( ( O `  A ) 
.x.  A )  =  .0.  ) )
1110simprbi 464 . . 3  |-  ( ( O `  A )  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  (
( O `  A
)  .x.  A )  =  .0.  )
1211adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  -> 
( ( O `  A )  .x.  A
)  =  .0.  )
13 odcl.2 . . 3  |-  O  =  ( od `  G
)
14 eqid 2460 . . 3  |-  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  =  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}
152, 4, 3, 13, 14odlem1 16348 . 2  |-  ( A  e.  X  ->  (
( ( O `  A )  =  0  /\  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  =  (/) )  \/  ( O `  A )  e.  {
y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  }
) )
167, 12, 15mpjaodan 784 1  |-  ( A  e.  X  ->  (
( O `  A
)  .x.  A )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   (/)c0 3778   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   NNcn 10525   Basecbs 14479   0gc0g 14684  .gcmg 15720   odcod 16338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-seq 12064  df-mulg 15854  df-od 16342
This theorem is referenced by:  odmodnn0  16353  mndodconglem  16354  odmod  16359  odeq  16363  odeq1  16371  odf1  16373  chrid  18324
  Copyright terms: Public domain W3C validator