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Theorem midexlem 25387
Description: Lemma for the existence of a middle point. Lemma 7.25 of [Schwabhauser] p. 55. This proof of the existence of a midpoint requires the existence of a third point 𝐶 equidistant to 𝐴 and 𝐵 This condition will be removed later. Because the operation notation (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) for a midpoint implies its uniqueness, it cannot be used until uniqueness is proven, and until then, an equivalent mirror point notation 𝐵 = (𝑀𝐴) has to be used. See mideu 25430 for the existence and uniqueness of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
midexlem.m 𝑀 = (𝑆𝑥)
midexlem.a (𝜑𝐴𝑃)
midexlem.b (𝜑𝐵𝑃)
midexlem.c (𝜑𝐶𝑃)
midexlem.1 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
Assertion
Ref Expression
midexlem (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem midexlem
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 midexlem.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
2 midexlem.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑆𝑥)
3 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐶 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐶))
42, 3syl5eq 2656 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶𝑀 = (𝑆𝐶))
54fveq1d 6105 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (𝑀𝐴) = ((𝑆𝐶)‘𝐴))
65eqeq2d 2620 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 = (𝑀𝐴) ↔ 𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴)))
76rspcev 3282 . . . . 5 ((𝐶𝑃𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
81, 7sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
98adantlr 747 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
10 midexlem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
12 mirval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
13 mirval.d . . . . . . . 8 = (dist‘𝐺)
14 mirval.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itv‘𝐺)
15 mirval.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineG‘𝐺)
16 mirval.s . . . . . . . 8 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
17 mirval.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
18 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
1912, 13, 14, 15, 16, 17, 10, 18mircinv 25363 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝑆𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
21 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
2220, 21eqtr2d 2645 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
23 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐴))
242, 23syl5eq 2656 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴𝑀 = (𝑆𝐴))
2524fveq1d 6105 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑀𝐴) = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
2625eqeq2d 2620 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 = (𝑀𝐴) ↔ 𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴)))
2726rspcev 3282 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
2811, 22, 27syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
2928adantlr 747 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
3017adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
31 eqid 2610 . . . 4 (𝑆𝐶) = (𝑆𝐶)
3210adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴𝑃)
33 midexlem.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
3433adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵𝑃)
351adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶𝑃)
36 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
37 midexlem.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
3837adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
3912, 13, 14, 15, 16, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 38colmid 25383 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
409, 29, 39mpjaodan 823 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
4117adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4241ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4342ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4443ad2antrr 758 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4544adantr 480 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
46 simprl 790 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥𝑃)
4710adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴𝑃)
4847ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴𝑃)
4948ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐴𝑃)
5049ad2antrr 758 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴𝑃)
5150adantr 480 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴𝑃)
5233ad3antrrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐵𝑃)
5352ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐵𝑃)
5453ad2antrr 758 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐵𝑃)
5554adantr 480 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵𝑃)
5645ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
57 simpllr 795 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟𝑃)
5857ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟𝑃)
591adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶𝑃)
6059ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐶𝑃)
6160ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐶𝑃)
6261ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐶𝑃)
6362adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶𝑃)
6463ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶𝑃)
6546ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥𝑃)
66 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
6755ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵𝑃)
6851ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴𝑃)
69 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 = 𝐴)
7033adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵𝑃)
71 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
7212, 14, 15, 41, 59, 47, 70, 71ncolne1 25320 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶𝐴)
7372ad7antr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶𝐴)
7473ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶𝐴)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐶𝐴)
7675necomd 2837 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐴𝐶)
7769, 76eqnetrd 2849 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟𝐶)
7856adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7958adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝑃)
8068adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐴𝑃)
8164adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐶𝑃)
82 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝑞𝑃)
8382ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑞𝑃)
8483ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝑃)
8584adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑞𝑃)
8671ad9antr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
8712, 15, 14, 56, 68, 67, 64, 86ncolrot2 25258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
8817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8933adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐵𝑃)
9010adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐴𝑃)
911adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐶𝑃)
92 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
9312, 15, 14, 88, 89, 90, 91, 92colcom 25253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
9493stoic1a 1688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
9594ad9antr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
9612, 14, 15, 56, 64, 67, 68, 95ncolne1 25320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶𝐵)
9796necomd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵𝐶)
98 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
9998ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
10099ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
10112, 14, 15, 56, 64, 67, 84, 96, 100btwnlng3 25316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
10212, 14, 15, 56, 67, 64, 84, 97, 101lncom 25317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
10356adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10464adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶𝑃)
10567adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵𝑃)
106100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
107 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝑞 = 𝐶)
108107oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → (𝐶𝐼𝑞) = (𝐶𝐼𝐶))
109106, 108eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
11012, 13, 14, 103, 104, 105, 109axtgbtwnid 25165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
11196adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶𝐵)
112111neneqd 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → ¬ 𝐶 = 𝐵)
113110, 112pm2.65da 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝑞 = 𝐶)
114113neqned 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝐶)
11512, 14, 15, 56, 67, 64, 68, 84, 87, 102, 114ncolncol 25341 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
11612, 15, 14, 56, 64, 68, 84, 115ncolcom 25256 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
117116adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
118 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝑝𝑃)
119118ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑝𝑃)
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑝𝑃)
121120ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝𝑃)
122 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝)))
123122simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))
124123eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 𝑝) = (𝐵 𝑞))
125124ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 𝑝) = (𝐵 𝑞))
12612, 13, 14, 56, 68, 121, 67, 84, 125tgcgrcomlr 25175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 𝐴) = (𝑞 𝐵))
127 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝))
128127ad5antr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝))
129128simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴𝑝)
130129necomd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝𝐴)
13112, 13, 14, 56, 121, 68, 84, 67, 126, 130tgcgrneq 25178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝐵)
13212, 14, 15, 56, 64, 67, 68, 84, 95, 101, 131ncolncol 25341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
13312, 14, 15, 56, 84, 67, 68, 132ncolne2 25321 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝐴)
134133necomd 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴𝑞)
135 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
136135simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
13712, 14, 15, 56, 68, 84, 58, 134, 136btwnlng1 25314 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
13812, 14, 15, 56, 84, 68, 58, 133, 137lncom 25317 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
139138adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
140 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐴)
14112, 14, 15, 78, 85, 80, 81, 79, 117, 139, 140ncolncol 25341 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → ¬ (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
14212, 14, 15, 78, 79, 80, 81, 141ncolne2 25321 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐶)
14377, 142pm2.61dane 2869 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟𝐶)
144 simpllr 795 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))))
145144simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
146145simprd 478 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))
14712, 15, 14, 56, 58, 65, 64, 146btwncolg3 25252 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 ∈ (𝑟𝐿𝑥) ∨ 𝑟 = 𝑥))
148 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠𝑃)
149 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
150149simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
151150ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
152 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
153127simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
154153ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
155154adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
15637ad8antr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
157156eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 𝐵) = (𝐶 𝐴))
15812, 13, 14, 45, 51, 55axtgcgrrflx 25161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴))
15912, 13, 14, 45, 63, 51, 120, 63, 55, 83, 55, 51, 73, 155, 99, 156, 124, 157, 158axtg5seg 25164 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑝 𝐵) = (𝑞 𝐴))
16012, 13, 14, 45, 120, 55, 83, 51, 159tgcgrcomlr 25175 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 𝑝) = (𝐴 𝑞))
161160ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝑝) = (𝐴 𝑞))
162 simprr 792 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)
16312, 13, 14, 66, 56, 67, 58, 121, 68, 148, 84, 162cgr3simp2 25216 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝑝) = (𝑠 𝑞))
16412, 13, 14, 56, 67, 68axtgcgrrflx 25161 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝐴) = (𝐴 𝐵))
16512, 13, 14, 56, 67, 58, 121, 68, 68, 148, 84, 67, 151, 152, 161, 163, 164, 126tgifscgr 25203 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝐴) = (𝑠 𝐵))
166 simp-10l 814 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝜑)
167128simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
16812, 14, 15, 56, 64, 68, 121, 74, 167btwnlng3 25316 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
16912, 14, 15, 56, 64, 68, 67, 121, 86, 168, 130ncolncol 25341 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
17017ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
171 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝑝𝑃)
17210ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐴𝑃)
17333ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐵𝑃)
174 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
17512, 15, 14, 170, 171, 172, 173, 174colrot1 25254 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
176175stoic1a 1688 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
177166, 121, 169, 176syl21anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
17812, 14, 15, 56, 121, 68, 67, 169ncolne2 25321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝𝐵)
179178necomd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵𝑝)
180179neneqd 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝐵 = 𝑝)
18112, 15, 14, 56, 68, 84, 58, 136btwncolg1 25250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞) ∨ 𝐴 = 𝑞))
18212, 13, 14, 56, 58, 68, 148, 67, 165tgcgrcomlr 25175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 𝑟) = (𝐵 𝑠))
183123ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))
18412, 13, 14, 56, 121, 84axtgcgrrflx 25161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
18512, 13, 14, 56, 67, 58, 121, 84, 68, 148, 84, 121, 151, 152, 161, 163, 183, 184tgifscgr 25203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝑞) = (𝑠 𝑝))
18612, 13, 14, 56, 68, 148, 84, 152tgbtwncom 25183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝑞𝐼𝐴))
18712, 13, 14, 45, 55, 57, 120, 150tgbtwncom 25183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
188187ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
189163eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 𝑞) = (𝑟 𝑝))
19012, 13, 14, 56, 148, 84, 58, 121, 189tgcgrcomlr 25175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 𝑠) = (𝑝 𝑟))
19112, 13, 14, 66, 56, 67, 58, 121, 68, 148, 84, 162cgr3simp1 25215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝑟) = (𝐴 𝑠))
192191eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 𝑠) = (𝐵 𝑟))
19312, 13, 14, 56, 68, 148, 67, 58, 192tgcgrcomlr 25175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 𝐴) = (𝑟 𝐵))
19412, 13, 14, 56, 84, 148, 68, 121, 58, 67, 186, 188, 190, 193tgcgrextend 25180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 𝐴) = (𝑝 𝐵))
19512, 13, 66, 56, 68, 58, 84, 67, 148, 121, 182, 185, 194trgcgr 25211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐴𝑟𝑞”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝑠𝑝”⟩)
19612, 15, 14, 56, 68, 58, 84, 66, 67, 148, 121, 181, 195lnxfr 25261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝) ∨ 𝐵 = 𝑝))
197196orcomd 402 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 = 𝑝𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
198197ord 391 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (¬ 𝐵 = 𝑝𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
199180, 198mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
20012, 14, 15, 56, 67, 121, 58, 179, 151btwnlng1 25314 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
20112, 14, 15, 56, 68, 84, 148, 134, 152btwnlng1 25314 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
20212, 14, 15, 56, 67, 121, 68, 84, 177, 199, 200, 201, 137tglineinteq 25340 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 = 𝑟)
203202oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 𝐵) = (𝑟 𝐵))
204165, 203eqtr2d 2645 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝐵) = (𝑟 𝐴))
205157ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 𝐵) = (𝐶 𝐴))
20612, 15, 14, 56, 58, 64, 65, 66, 67, 68, 13, 143, 147, 204, 205lncgr 25264 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 𝐵) = (𝑥 𝐴))
20712, 13, 14, 66, 45, 55, 57, 120, 51, 83, 150, 160tgcgrxfr 25213 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → ∃𝑠𝑃 (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩))
208206, 207r19.29a 3060 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑥 𝐵) = (𝑥 𝐴))
209 simprrl 800 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
21012, 13, 14, 45, 51, 46, 55, 209tgbtwncom 25183 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
21112, 13, 14, 15, 16, 45, 46, 2, 51, 55, 208, 210ismir 25354 . . . . . 6 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
212 simplr 788 . . . . . . 7 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟𝑃)
213 simprr 792 . . . . . . 7 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
21412, 13, 14, 44, 62, 54, 119, 50, 212, 154, 213axtgpasch 25166 . . . . . 6 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
215211, 214reximddv 3001 . . . . 5 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
21612, 13, 14, 43, 61, 49, 118, 153tgbtwncom 25183 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
21712, 13, 14, 43, 61, 53, 82, 98tgbtwncom 25183 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝑞𝐼𝐶))
21812, 13, 14, 43, 118, 82, 61, 49, 53, 216, 217axtgpasch 25166 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
219215, 218r19.29a 3060 . . . 4 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
220 simplr 788 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝑝𝑃)
22112, 13, 14, 42, 60, 52, 48, 220axtgsegcon 25163 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → ∃𝑞𝑃 (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝)))
222219, 221r19.29a 3060 . . 3 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
223 fvex 6113 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) ∈ V
22412, 223eqeltri 2684 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
225224a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝑃 ∈ V)
226225, 59, 47, 72nehash2 13113 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
22712, 13, 14, 41, 59, 47, 226tgbtwndiff 25201 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑝𝑃 (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝))
228222, 227r19.29a 3060 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
22940, 228pm2.61dan 828 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  ⟨“cs3 13438  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  cgrGccgrg 25205  pInvGcmir 25347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-mir 25348
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