Theorem tgcgrextend 25180

Description: Link congruence over a pair of line segments. Theorem 2.11 of [Schwabhauser] p. 29. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.) (Shortened by David A. Wheeler and Thierry Arnoux, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
tkgeom.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tkgeom.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tkgeom.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tkgeom.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgcgrextend.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgcgrextend.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgcgrextend.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgcgrextend.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrextend.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgcgrextend.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrextend.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgcgrextend.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
tgcgrextend.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
tgcgrextend.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tgcgrextend	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))

Proof of Theorem tgcgrextend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrextend.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
3		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
4	3	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
5		tkgeom.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		tkgeom.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		tkgeom.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		tkgeom.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		tgcgrextend.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		tgcgrextend.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
14		tgcgrextend.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16		tgcgrextend.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ∈ 𝑃)
18		tgcgrextend.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
20	5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 3	tgcgreq 25177	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐸)
21	20	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷 − 𝐹) = (𝐸 − 𝐹))
22	2, 4, 21	3eqtr4d 2654	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
23	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24		tgcgrextend.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27		tgcgrextend.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
28	27	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝑃)
29	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑃)
30	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
31	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐸 ∈ 𝑃)
32		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
33		tgcgrextend.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
35		tgcgrextend.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
37	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
38	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
39	5, 6, 7, 23, 26, 29	tgcgrtriv 25179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷))
40	5, 6, 7, 23, 26, 30, 29, 31, 37	tgcgrcomlr 25175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
41	5, 6, 7, 23, 26, 30, 25, 29, 31, 28, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 38, 39, 40	axtg5seg 25164	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
42	5, 6, 7, 23, 25, 26, 28, 29, 41	tgcgrcomlr 25175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
43	22, 42	pm2.61dane 2869	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-trkgc 25147  df-trkgcb 25149  df-trkg 25152

This theorem is referenced by:  tgsegconeq  25181  tgcgrxfr  25213  lnext  25262  tgbtwnconn1lem1  25267  tgbtwnconn1lem2  25268  tgbtwnconn1lem3  25269  miriso  25365  mircgrextend  25377  midexlem  25387  opphllem  25427  dfcgra2  25521