Theorem m11nprm 40056

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11186	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 11184	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11388	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 11188	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 11388	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 11192	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 11185	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 40055	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 11031	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 11411	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 11019	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 11459	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 11187	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 11388	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 11193	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2610	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 11191	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 11530	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 11021	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 11190	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 11011	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 11474	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 11457	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 11531	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 6559	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 11388	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 11181	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addid1i 10102	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 11444	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 11539	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 11486	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 11457	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 11540	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 11465	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 11463	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2635	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1475  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  ;cdc 11369  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by: (None)