Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecindp2 18960
 Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp2.p + = (+g𝑊)
lvecindp2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp2.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp2.t · = ( ·𝑠𝑊)
lvecindp2.o 0 = (0g𝑊)
lvecindp2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lvecindp2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lvecindp2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.a (𝜑𝐴𝐾)
lvecindp2.b (𝜑𝐵𝐾)
lvecindp2.c (𝜑𝐶𝐾)
lvecindp2.d (𝜑𝐷𝐾)
lvecindp2.q (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lvecindp2.e (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
lvecindp2 (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem lvecindp2
StepHypRef Expression
1 lvecindp2.e . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))
2 lvecindp2.p . . . 4 + = (+g𝑊)
3 lvecindp2.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
4 eqid 2610 . . . 4 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5 lvecindp2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 lveclmod 18927 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lvecindp2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3552 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
10 lvecindp2.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 lvecindp2.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1210, 11lspsnsubg 18801 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
137, 9, 12syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14 lvecindp2.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1514eldifad 3552 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
1610, 11lspsnsubg 18801 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
177, 15, 16syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 lvecindp2.q . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
1910, 3, 11, 5, 9, 15, 18lspdisj2 18948 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
20 lmodabl 18733 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
217, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
224, 21, 13, 17ablcntzd 18083 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})))
23 lvecindp2.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
24 lvecindp2.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
25 lvecindp2.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
26 lvecindp2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐾)
2710, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9lspsneli 18822 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
28 lvecindp2.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝐾)
2910, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9lspsneli 18822 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30 lvecindp2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
3110, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15lspsneli 18822 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
32 lvecindp2.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝐾)
3310, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15lspsneli 18822 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
342, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33subgdisjb 17929 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)) ↔ ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌))))
351, 34mpbid 221 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)))
36 eldifsni 4261 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
378, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋0 )
3810, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37lvecvscan2 18933 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐶))
39 eldifsni 4261 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌0 )
4014, 39syl 17 . . . 4 (𝜑𝑌0 )
4110, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40lvecvscan2 18933 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌) ↔ 𝐵 = 𝐷))
4238, 41anbi12d 743 . 2 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
4335, 42mpbid 221 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571  Abelcabl 18017  LModclmod 18686  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924 This theorem is referenced by:  mapdpglem30  36009  baerlem3lem1  36014  baerlem5alem1  36015  hdmap14lem9  36186
 Copyright terms: Public domain W3C validator