MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp2 Structured version   Unicode version

Theorem lvecindp2 17980
Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecindp2.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lvecindp2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecindp2.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecindp2.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecindp2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lvecindp2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lvecindp2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecindp2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lvecindp2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lvecindp2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecindp2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lvecindp2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
lvecindp2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  K )
lvecindp2.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lvecindp2.e  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C 
.x.  X )  .+  ( D  .x.  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
lvecindp2  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )

Proof of Theorem lvecindp2
StepHypRef Expression
1 lvecindp2.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C 
.x.  X )  .+  ( D  .x.  Y ) ) )
2 lvecindp2.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lvecindp2.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
5 lvecindp2.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lveclmod 17947 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 lvecindp2.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 lvecindp2.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 lvecindp2.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1210, 11lspsnsubg 17821 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
137, 9, 12syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
14 lvecindp2.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1514eldifad 3473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1610, 11lspsnsubg 17821 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
177, 15, 16syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
18 lvecindp2.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1910, 3, 11, 5, 9, 15, 18lspdisj2 17968 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  i^i  ( N `  { Y } ) )  =  {  .0.  } )
20 lmodabl 17752 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
217, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
224, 21, 13, 17ablcntzd 17062 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  (
(Cntz `  W ) `  ( N `  { Y } ) ) )
23 lvecindp2.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
24 lvecindp2.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
25 lvecindp2.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
26 lvecindp2.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
2710, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9lspsneli 17842 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
28 lvecindp2.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
2910, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9lspsneli 17842 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
30 lvecindp2.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
3110, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15lspsneli 17842 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  ( N `
 { Y }
) )
32 lvecindp2.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  K )
3310, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15lspsneli 17842 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  .x.  Y
)  e.  ( N `
 { Y }
) )
342, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33subgdisjb 16910 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C  .x.  X ) 
.+  ( D  .x.  Y ) )  <->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X
)  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) ) ) )
351, 34mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X )  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) ) )
36 eldifsni 4142 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
378, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
3810, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37lvecvscan2 17953 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X )  <-> 
A  =  C ) )
39 eldifsni 4142 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  =/=  .0.  )
4014, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
4110, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40lvecvscan2 17953 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y )  <-> 
B  =  D ) )
4238, 41anbi12d 708 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  =  ( C  .x.  X
)  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) )  <->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) ) )
4335, 42mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    \ cdif 3458   {csn 4016   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   +g cplusg 14784  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   0gc0g 14929  SubGrpcsubg 16394  Cntzccntz 16552   Abelcabl 16998   LModclmod 17707   LSpanclspn 17812   LVecclvec 17943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-drng 17593  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-lvec 17944
This theorem is referenced by:  mapdpglem30  37826  baerlem3lem1  37831  baerlem5alem1  37832  hdmap14lem9  38003
  Copyright terms: Public domain W3C validator