MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lvecindp2 18440
Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecindp2.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lvecindp2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecindp2.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecindp2.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecindp2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lvecindp2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lvecindp2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecindp2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lvecindp2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lvecindp2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecindp2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lvecindp2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
lvecindp2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  K )
lvecindp2.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lvecindp2.e  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C 
.x.  X )  .+  ( D  .x.  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
lvecindp2  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )

Proof of Theorem lvecindp2
StepHypRef Expression
1 lvecindp2.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C 
.x.  X )  .+  ( D  .x.  Y ) ) )
2 lvecindp2.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lvecindp2.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 eqid 2471 . . . 4  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
5 lvecindp2.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lveclmod 18407 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
75, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 lvecindp2.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3402 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 lvecindp2.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 lvecindp2.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1210, 11lspsnsubg 18281 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
137, 9, 12syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
14 lvecindp2.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1514eldifad 3402 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1610, 11lspsnsubg 18281 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
177, 15, 16syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
18 lvecindp2.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1910, 3, 11, 5, 9, 15, 18lspdisj2 18428 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  i^i  ( N `  { Y } ) )  =  {  .0.  } )
20 lmodabl 18213 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
217, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
224, 21, 13, 17ablcntzd 17573 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  (
(Cntz `  W ) `  ( N `  { Y } ) ) )
23 lvecindp2.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
24 lvecindp2.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
25 lvecindp2.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
26 lvecindp2.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
2710, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9lspsneli 18302 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
28 lvecindp2.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
2910, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9lspsneli 18302 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
30 lvecindp2.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
3110, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15lspsneli 18302 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  ( N `
 { Y }
) )
32 lvecindp2.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  K )
3310, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15lspsneli 18302 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  .x.  Y
)  e.  ( N `
 { Y }
) )
342, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33subgdisjb 17421 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C  .x.  X ) 
.+  ( D  .x.  Y ) )  <->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X
)  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) ) ) )
351, 34mpbid 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X )  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) ) )
36 eldifsni 4089 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
378, 36syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
3810, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37lvecvscan2 18413 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X )  <-> 
A  =  C ) )
39 eldifsni 4089 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  =/=  .0.  )
4014, 39syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
4110, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40lvecvscan2 18413 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y )  <-> 
B  =  D ) )
4238, 41anbi12d 725 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  =  ( C  .x.  X
)  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) )  <->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) ) )
4335, 42mpbid 215 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    \ cdif 3387   {csn 3959   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   0gc0g 15416  SubGrpcsubg 16889  Cntzccntz 17047   Abelcabl 17509   LModclmod 18169   LSpanclspn 18272   LVecclvec 18403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404
This theorem is referenced by:  mapdpglem30  35341  baerlem3lem1  35346  baerlem5alem1  35347  hdmap14lem9  35518
  Copyright terms: Public domain W3C validator