MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp2 Structured version   Unicode version

Theorem lvecindp2 17335
Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecindp2.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lvecindp2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecindp2.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecindp2.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecindp2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lvecindp2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lvecindp2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecindp2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lvecindp2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lvecindp2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecindp2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lvecindp2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
lvecindp2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  K )
lvecindp2.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lvecindp2.e  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C 
.x.  X )  .+  ( D  .x.  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
lvecindp2  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )

Proof of Theorem lvecindp2
StepHypRef Expression
1 lvecindp2.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C 
.x.  X )  .+  ( D  .x.  Y ) ) )
2 lvecindp2.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lvecindp2.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 eqid 2451 . . . 4  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
5 lvecindp2.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lveclmod 17302 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 lvecindp2.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3441 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 lvecindp2.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 lvecindp2.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1210, 11lspsnsubg 17176 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
137, 9, 12syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
14 lvecindp2.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1514eldifad 3441 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1610, 11lspsnsubg 17176 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
177, 15, 16syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
18 lvecindp2.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1910, 3, 11, 5, 9, 15, 18lspdisj2 17323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  i^i  ( N `  { Y } ) )  =  {  .0.  } )
20 lmodabl 17107 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
217, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
224, 21, 13, 17ablcntzd 16452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  (
(Cntz `  W ) `  ( N `  { Y } ) ) )
23 lvecindp2.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
24 lvecindp2.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
25 lvecindp2.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
26 lvecindp2.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
2710, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9lspsneli 17197 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
28 lvecindp2.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
2910, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9lspsneli 17197 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
30 lvecindp2.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
3110, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15lspsneli 17197 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  ( N `
 { Y }
) )
32 lvecindp2.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  K )
3310, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15lspsneli 17197 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  .x.  Y
)  e.  ( N `
 { Y }
) )
342, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33subgdisjb 16303 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C  .x.  X ) 
.+  ( D  .x.  Y ) )  <->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X
)  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) ) ) )
351, 34mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X )  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) ) )
36 eldifsni 4102 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
378, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
3810, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37lvecvscan2 17308 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X )  <-> 
A  =  C ) )
39 eldifsni 4102 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  =/=  .0.  )
4014, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
4110, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40lvecvscan2 17308 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y )  <-> 
B  =  D ) )
4238, 41anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  =  ( C  .x.  X
)  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) )  <->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) ) )
4335, 42mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644    \ cdif 3426   {csn 3978   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   +g cplusg 14349  Scalarcsca 14352   .scvsca 14353   0gc0g 14489  SubGrpcsubg 15786  Cntzccntz 15944   Abelcabel 16391   LModclmod 17063   LSpanclspn 17167   LVecclvec 17298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-tpos 6848  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-subg 15789  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-oppr 16830  df-dvdsr 16848  df-unit 16849  df-invr 16879  df-drng 16949  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-lsp 17168  df-lvec 17299
This theorem is referenced by:  mapdpglem30  35656  baerlem3lem1  35661  baerlem5alem1  35662  hdmap14lem9  35833
  Copyright terms: Public domain W3C validator