Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lvecindp2 18440
 Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp2.v
lvecindp2.p
lvecindp2.f Scalar
lvecindp2.k
lvecindp2.t
lvecindp2.o
lvecindp2.n
lvecindp2.w
lvecindp2.x
lvecindp2.y
lvecindp2.a
lvecindp2.b
lvecindp2.c
lvecindp2.d
lvecindp2.q
lvecindp2.e
Assertion
Ref Expression
lvecindp2

Proof of Theorem lvecindp2
StepHypRef Expression
1 lvecindp2.e . . 3
2 lvecindp2.p . . . 4
3 lvecindp2.o . . . 4
4 eqid 2471 . . . 4 Cntz Cntz
5 lvecindp2.w . . . . . 6
6 lveclmod 18407 . . . . . 6
75, 6syl 17 . . . . 5
8 lvecindp2.x . . . . . 6
98eldifad 3402 . . . . 5
10 lvecindp2.v . . . . . 6
11 lvecindp2.n . . . . . 6
1210, 11lspsnsubg 18281 . . . . 5 SubGrp
137, 9, 12syl2anc 673 . . . 4 SubGrp
14 lvecindp2.y . . . . . 6
1514eldifad 3402 . . . . 5
1610, 11lspsnsubg 18281 . . . . 5 SubGrp
177, 15, 16syl2anc 673 . . . 4 SubGrp
18 lvecindp2.q . . . . 5
1910, 3, 11, 5, 9, 15, 18lspdisj2 18428 . . . 4
20 lmodabl 18213 . . . . . 6
217, 20syl 17 . . . . 5
224, 21, 13, 17ablcntzd 17573 . . . 4 Cntz
23 lvecindp2.t . . . . 5
24 lvecindp2.f . . . . 5 Scalar
25 lvecindp2.k . . . . 5
26 lvecindp2.a . . . . 5
2710, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9lspsneli 18302 . . . 4
28 lvecindp2.c . . . . 5
2910, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9lspsneli 18302 . . . 4
30 lvecindp2.b . . . . 5
3110, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15lspsneli 18302 . . . 4
32 lvecindp2.d . . . . 5
3310, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15lspsneli 18302 . . . 4
342, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33subgdisjb 17421 . . 3
351, 34mpbid 215 . 2
36 eldifsni 4089 . . . . 5
378, 36syl 17 . . . 4
3810, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37lvecvscan2 18413 . . 3
39 eldifsni 4089 . . . . 5
4014, 39syl 17 . . . 4
4110, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40lvecvscan2 18413 . . 3
4238, 41anbi12d 725 . 2
4335, 42mpbid 215 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641   cdif 3387  csn 3959  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199   cplusg 15268  Scalarcsca 15271  cvsca 15272  c0g 15416  SubGrpcsubg 16889  Cntzccntz 17047  cabl 17509  clmod 18169  clspn 18272  clvec 18403 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404 This theorem is referenced by:  mapdpglem30  35341  baerlem3lem1  35346  baerlem5alem1  35347  hdmap14lem9  35518
 Copyright terms: Public domain W3C validator