Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecindp 18959
 Description: Compute the 𝑋 coefficient in a sum with an independent vector 𝑋 (first conjunct), which can then be removed to continue with the remaining vectors summed in expressions 𝑌 and 𝑍 (second conjunct). Typically, 𝑈 is the span of the remaining vectors. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp.p + = (+g𝑊)
lvecindp.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp.t · = ( ·𝑠𝑊)
lvecindp.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lvecindp.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lvecindp.u (𝜑𝑈𝑆)
lvecindp.x (𝜑𝑋𝑉)
lvecindp.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
lvecindp.y (𝜑𝑌𝑈)
lvecindp.z (𝜑𝑍𝑈)
lvecindp.a (𝜑𝐴𝐾)
lvecindp.b (𝜑𝐵𝐾)
lvecindp.e (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))
Assertion
Ref Expression
lvecindp (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem lvecindp
StepHypRef Expression
1 lvecindp.p . . . 4 + = (+g𝑊)
2 eqid 2610 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
3 eqid 2610 . . . 4 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
4 lvecindp.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 18927 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lvecindp.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
8 lvecindp.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 eqid 2610 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
108, 9lspsnsubg 18801 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
116, 7, 10syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
12 lvecindp.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
1312lsssssubg 18779 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
146, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15 lvecindp.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
1614, 15sseldd 3569 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
17 lvecindp.n . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
188, 2, 9, 12, 4, 15, 7, 17lspdisj 18946 . . . 4 (𝜑 → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = {(0g𝑊)})
19 lmodabl 18733 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
206, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
213, 20, 11, 16ablcntzd 18083 . . . 4 (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
22 lvecindp.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
23 lvecindp.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
24 lvecindp.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
25 lvecindp.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐾)
268, 22, 23, 24, 9, 6, 25, 7lspsneli 18822 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
27 lvecindp.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
288, 22, 23, 24, 9, 6, 27, 7lspsneli 18822 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
29 lvecindp.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
30 lvecindp.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑈)
31 lvecindp.e . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))
321, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj1 17927 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋))
338, 2, 12, 6, 15, 7, 17lssneln0 18773 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}))
34 eldifsni 4261 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) → 𝑋 ≠ (0g𝑊))
3533, 34syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ (0g𝑊))
368, 22, 23, 24, 2, 4, 25, 27, 7, 35lvecvscan2 18933 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))
3732, 36mpbid 221 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
381, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj2 17928 . 2 (𝜑𝑌 = 𝑍)
3937, 38jca 553 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝑌 = 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571  Abelcabl 18017  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924 This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  36014  baerlem5alem1  36015  baerlem5blem1  36016
 Copyright terms: Public domain W3C validator