MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp Structured version   Unicode version

Theorem lvecindp 17897
Description: Compute the  X coefficient in a sum with an independent vector  X (first conjunct), which can then be removed to continue with the remaining vectors summed in expressions  Y and 
Z (second conjunct). Typically,  U is the span of the remaining vectors. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecindp.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lvecindp.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecindp.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecindp.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecindp.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lvecindp.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecindp.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lvecindp.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lvecindp.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lvecindp.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
lvecindp.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
lvecindp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecindp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lvecindp.e  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  Y
)  =  ( ( B  .x.  X ) 
.+  Z ) )
Assertion
Ref Expression
lvecindp  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  /\  Y  =  Z ) )

Proof of Theorem lvecindp
StepHypRef Expression
1 lvecindp.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2 eqid 2382 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
3 eqid 2382 . . . 4  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
4 lvecindp.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lveclmod 17865 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 lvecindp.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8 lvecindp.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
108, 9lspsnsubg 17739 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( LSpan `  W ) `  { X } )  e.  (SubGrp `  W
) )
116, 7, 10syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  W
) `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
12 lvecindp.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
1312lsssssubg 17717 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
146, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
15 lvecindp.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
1614, 15sseldd 3418 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
17 lvecindp.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
188, 2, 9, 12, 4, 15, 7, 17lspdisj 17884 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  W ) `  { X } )  i^i  U
)  =  { ( 0g `  W ) } )
19 lmodabl 17670 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
206, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
213, 20, 11, 16ablcntzd 16980 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  W
) `  { X } )  C_  (
(Cntz `  W ) `  U ) )
22 lvecindp.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
23 lvecindp.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
24 lvecindp.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
25 lvecindp.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
268, 22, 23, 24, 9, 6, 25, 7lspsneli 17760 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  { X } ) )
27 lvecindp.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
288, 22, 23, 24, 9, 6, 27, 7lspsneli 17760 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  { X } ) )
29 lvecindp.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
30 lvecindp.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
31 lvecindp.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  Y
)  =  ( ( B  .x.  X ) 
.+  Z ) )
321, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj1 16826 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  =  ( B 
.x.  X ) )
338, 2, 12, 6, 15, 7, 17lssneln0 17711 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  W ) } ) )
34 eldifsni 4070 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  X  =/=  ( 0g `  W ) )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  ( 0g
`  W ) )
368, 22, 23, 24, 2, 4, 25, 27, 7, 35lvecvscan2 17871 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X )  <-> 
A  =  B ) )
3732, 36mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  B )
381, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj2 16827 . 2  |-  ( ph  ->  Y  =  Z )
3937, 38jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  /\  Y  =  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577    \ cdif 3386    C_ wss 3389   {csn 3944   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   +g cplusg 14702  Scalarcsca 14705   .scvsca 14706   0gc0g 14847  SubGrpcsubg 16312  Cntzccntz 16470   Abelcabl 16916   LModclmod 17625   LSubSpclss 17691   LSpanclspn 17730   LVecclvec 17861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-subg 16315  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-drng 17511  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-lsp 17731  df-lvec 17862
This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  37847  baerlem5alem1  37848  baerlem5blem1  37849
  Copyright terms: Public domain W3C validator