MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp Structured version   Unicode version

Theorem lvecindp 17337
Description: Compute the  X coefficient in a sum with an independent vector  X (first conjunct), which can then be removed to continue with the remaining vectors summed in expressions  Y and 
Z (second conjunct). Typically,  U is the span of the remaining vectors. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecindp.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lvecindp.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecindp.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecindp.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecindp.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lvecindp.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecindp.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lvecindp.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lvecindp.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lvecindp.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
lvecindp.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
lvecindp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecindp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lvecindp.e  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  Y
)  =  ( ( B  .x.  X ) 
.+  Z ) )
Assertion
Ref Expression
lvecindp  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  /\  Y  =  Z ) )

Proof of Theorem lvecindp
StepHypRef Expression
1 lvecindp.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2 eqid 2452 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
3 eqid 2452 . . . 4  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
4 lvecindp.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lveclmod 17305 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 lvecindp.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8 lvecindp.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 eqid 2452 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
108, 9lspsnsubg 17179 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( LSpan `  W ) `  { X } )  e.  (SubGrp `  W
) )
116, 7, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  W
) `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
12 lvecindp.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
1312lsssssubg 17157 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
146, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
15 lvecindp.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
1614, 15sseldd 3460 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
17 lvecindp.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
188, 2, 9, 12, 4, 15, 7, 17lspdisj 17324 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  W ) `  { X } )  i^i  U
)  =  { ( 0g `  W ) } )
19 lmodabl 17110 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
206, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
213, 20, 11, 16ablcntzd 16455 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  W
) `  { X } )  C_  (
(Cntz `  W ) `  U ) )
22 lvecindp.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
23 lvecindp.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
24 lvecindp.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
25 lvecindp.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
268, 22, 23, 24, 9, 6, 25, 7lspsneli 17200 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  { X } ) )
27 lvecindp.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
288, 22, 23, 24, 9, 6, 27, 7lspsneli 17200 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  { X } ) )
29 lvecindp.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
30 lvecindp.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
31 lvecindp.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  Y
)  =  ( ( B  .x.  X ) 
.+  Z ) )
321, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj1 16304 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  =  ( B 
.x.  X ) )
338, 2, 12, 6, 15, 7, 17lssneln0 17151 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  W ) } ) )
34 eldifsni 4104 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  X  =/=  ( 0g `  W ) )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  ( 0g
`  W ) )
368, 22, 23, 24, 2, 4, 25, 27, 7, 35lvecvscan2 17311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X )  <-> 
A  =  B ) )
3732, 36mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  B )
381, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj2 16305 . 2  |-  ( ph  ->  Y  =  Z )
3937, 38jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  /\  Y  =  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645    \ cdif 3428    C_ wss 3431   {csn 3980   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   +g cplusg 14352  Scalarcsca 14355   .scvsca 14356   0gc0g 14492  SubGrpcsubg 15789  Cntzccntz 15947   Abelcabel 16394   LModclmod 17066   LSubSpclss 17131   LSpanclspn 17170   LVecclvec 17301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-subg 15792  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-drng 16952  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lsp 17171  df-lvec 17302
This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  35671  baerlem5alem1  35672  baerlem5blem1  35673
  Copyright terms: Public domain W3C validator