Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgdisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgdisj2 17928
 Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 12-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgdisj.p + = (+g𝐺)
subgdisj.o 0 = (0g𝐺)
subgdisj.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
subgdisj.s (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
subgdisj.a (𝜑𝐴𝑇)
subgdisj.c (𝜑𝐶𝑇)
subgdisj.b (𝜑𝐵𝑈)
subgdisj.d (𝜑𝐷𝑈)
subgdisj.j (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
subgdisj2 (𝜑𝐵 = 𝐷)

Proof of Theorem subgdisj2
StepHypRef Expression
1 subgdisj.p . 2 + = (+g𝐺)
2 subgdisj.o . 2 0 = (0g𝐺)
3 subgdisj.z . 2 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4 subgdisj.u . 2 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 subgdisj.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 incom 3767 . . 3 (𝑇𝑈) = (𝑈𝑇)
7 subgdisj.i . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
86, 7syl5eqr 2658 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑇) = { 0 })
9 subgdisj.s . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
103, 5, 4, 9cntzrecd 17914 . 2 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑍𝑇))
11 subgdisj.b . 2 (𝜑𝐵𝑈)
12 subgdisj.d . 2 (𝜑𝐷𝑈)
13 subgdisj.a . 2 (𝜑𝐴𝑇)
14 subgdisj.c . 2 (𝜑𝐶𝑇)
15 subgdisj.j . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
169, 13sseldd 3569 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑍𝑈))
171, 3cntzi 17585 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑍𝑈) ∧ 𝐵𝑈) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
1816, 11, 17syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
199, 14sseldd 3569 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝑍𝑈))
201, 3cntzi 17585 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑍𝑈) ∧ 𝐷𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
2119, 12, 20syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
2215, 18, 213eqtr3d 2652 . 2 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) = (𝐷 + 𝐶))
231, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 22subgdisj1 17927 1 (𝜑𝐵 = 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573 This theorem is referenced by:  subgdisjb  17929  lvecindp  18959  lshpsmreu  33414  lshpkrlem5  33419
 Copyright terms: Public domain W3C validator