Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopunilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopunilem1 28253
 Description: Lemma for lnopunii 28255. (Contributed by NM, 14-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopunilem.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopunilem.2 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
lnopunilem.3 𝐴 ∈ ℋ
lnopunilem.4 𝐵 ∈ ℋ
lnopunilem1.5 𝐶 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
lnopunilem1 (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem lnopunilem1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopunilem1.5 . . . 4 𝐶 ∈ ℂ
2 lnopunilem.3 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℋ
3 lnopunilem.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 28212 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
54ffvelrni 6266 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
62, 5ax-mp 5 . . . . 5 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
7 lnopunilem.4 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℋ
84ffvelrni 6266 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
106, 9hicli 27322 . . . 4 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ
111, 10mulcli 9924 . . 3 (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) ∈ ℂ
12 reval 13694 . . 3 ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2))
1311, 12ax-mp 5 . 2 (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2)
142, 7hicli 27322 . . . . 5 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
151, 14mulcli 9924 . . . 4 (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
16 reval 13694 . . . 4 ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) / 2))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) / 2)
18 lnopunilem.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
19 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦))
2019fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm‘(𝑇𝑦)))
21 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (norm𝑥) = (norm𝑦))
2220, 21eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥) ↔ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦)))
2322cbvralv 3147 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦))
2418, 23mpbi 219 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦)
25 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 ((norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦) → ((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((norm𝑦)↑2))
264ffvelrni 6266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
27 normsq 27375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝑦) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)))
29 normsq 27375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦)↑2) = (𝑦 ·ih 𝑦))
3028, 29eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((norm𝑦)↑2) ↔ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦)))
3125, 30syl5ib 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦)))
3231ralimia 2934 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
3324, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦)
34 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐴 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝐴))
3534, 34oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
3736, 36oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ·ih 𝑦) = (𝐴 ·ih 𝐴))
3835, 37eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴)))
3938rspcv 3278 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) → ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴)))
402, 33, 39mp2 9 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴)
4140oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))
4241oveq2i 6560 . . . . . . . 8 (𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) = (𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
43 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐵 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝐵))
4443, 43oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
45 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
4645, 45oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ·ih 𝑦) = (𝐵 ·ih 𝐵))
4744, 46eqeq12d 2625 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵)))
4847rspcv 3278 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) → ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵)))
497, 33, 48mp2 9 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵)
5042, 49oveq12i 6561 . . . . . . 7 ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵))
5150oveq1i 6559 . . . . . 6 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))))
521cjcli 13757 . . . . . . . . . 10 (∗‘𝐶) ∈ ℂ
536, 6hicli 27322 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℂ
5452, 53mulcli 9924 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) ∈ ℂ
551, 54mulcli 9924 . . . . . . . 8 (𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) ∈ ℂ
569, 9hicli 27322 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ
5711cjcli 13757 . . . . . . . 8 (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) ∈ ℂ
5855, 56, 11, 57add42i 10140 . . . . . . 7 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
592, 2hicli 27322 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
6052, 59mulcli 9924 . . . . . . . . . 10 ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℂ
611, 60mulcli 9924 . . . . . . . . 9 (𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) ∈ ℂ
627, 7hicli 27322 . . . . . . . . 9 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
6315cjcli 13757 . . . . . . . . 9 (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ∈ ℂ
6461, 62, 15, 63add42i 10140 . . . . . . . 8 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
651, 2hvmulcli 27255 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ
6665, 7hvaddcli 27259 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ
67 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
6867, 67oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
69 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → 𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))
7069, 69oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → (𝑦 ·ih 𝑦) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
7168, 70eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → (((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
7271rspcv 3278 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) → ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
7366, 33, 72mp2 9 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))
74 ax-his2 27324 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ) → (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) + (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
7565, 7, 66, 74mp3an 1416 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) + (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
76 ax-his3 27325 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
771, 2, 66, 76mp3an 1416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
78 his7 27331 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
792, 65, 7, 78mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))
80 his5 27327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
811, 2, 2, 80mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))
8281oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵)) = (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))
8379, 82eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))
8483oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (𝐶 · (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
851, 60, 14adddii 9929 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
8677, 84, 853eqtri 2636 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
87 his7 27331 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
887, 65, 7, 87mp3an 1416 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐵 ·ih 𝐵))
89 his5 27327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
901, 7, 2, 89mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴))
911, 14cjmuli 13777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)))
927, 2his1i 27341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵))
9392oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)))
9491, 93eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴))
9590, 94eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
9695oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵))
9788, 96eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵))
9886, 97oveq12i 6561 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) + (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
9973, 75, 983eqtrri 2637 . . . . . . . . 9 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
1003lnopli 28211 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
1011, 2, 7, 100mp3an 1416 . . . . . . . . . . 11 (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))
102101, 101oveq12i 6561 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
1031, 6hvmulcli 27255 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ
104103, 9hvaddcli 27259 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ∈ ℋ
105 ax-his2 27324 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ∈ ℋ) → (((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))))
106103, 9, 104, 105mp3an 1416 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))))
107102, 106eqtri 2632 . . . . . . . . 9 ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))))
108 ax-his3 27325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))))
1091, 6, 104, 108mp3an 1416 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))))
110 his7 27331 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
1116, 103, 9, 110mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
112 his5 27327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))))
1131, 6, 6, 112mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))
114113oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) = (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
115111, 114eqtri 2632 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
116115oveq2i 6560 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))) = (𝐶 · (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
1171, 54, 10adddii 9929 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
118109, 116, 1173eqtri 2636 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
119 his7 27331 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
1209, 103, 9, 119mp3an 1416 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
121 his5 27327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴))))
1221, 9, 6, 121mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴)))
1231, 10cjmuli 13777 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = ((∗‘𝐶) · (∗‘((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
1249, 6his1i 27341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴)) = (∗‘((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
125124oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · (∗‘((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
126123, 125eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . . . 13 (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴)))
127122, 126eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
128127oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) = ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
129120, 128eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
130118, 129oveq12i 6561 . . . . . . . . 9 (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
13199, 107, 1303eqtrri 2637 . . . . . . . 8 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
13264, 131eqtr4i 2635 . . . . . . 7 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
13358, 132eqtr4i 2635 . . . . . 6 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
13451, 133eqtr3i 2634 . . . . 5 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
13561, 62addcli 9923 . . . . . 6 ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
13611, 57addcli 9923 . . . . . 6 ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) ∈ ℂ
13715, 63addcli 9923 . . . . . 6 ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) ∈ ℂ
138135, 136, 137addcani 10108 . . . . 5 ((((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))) ↔ ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) = ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
139134, 138mpbi 219 . . . 4 ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) = ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
140139oveq1i 6559 . . 3 (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2) = (((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) / 2)
14117, 140eqtr4i 2635 . 2 (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2)
14213, 141eqtr4i 2635 1 (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   · cmul 9820   / cdiv 10563  2c2 10947  ↑cexp 12722  ∗ccj 13684  ℜcre 13685   ℋchil 27160   +ℎ cva 27161   ·ℎ csm 27162   ·ih csp 27163  normℎcno 27164  LinOpclo 27188 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hv0cl 27244  ax-hfvmul 27246  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-hnorm 27209  df-lnop 28084 This theorem is referenced by:  lnopunilem2  28254
 Copyright terms: Public domain W3C validator