HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulcli 27255
Description: Closure inference for scalar multiplication. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvmulcl.1 𝐴 ∈ ℂ
hvmulcl.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvmulcli (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ

Proof of Theorem hvmulcli
StepHypRef Expression
1 hvmulcl.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 hvmulcl.2 . 2 𝐵 ∈ ℋ
3 hvmulcl 27254 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
41, 2, 3mp2an 704 1 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1977  (class class class)co 6549  cc 9813  chil 27160   · csm 27162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-hfvmul 27246
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552
This theorem is referenced by:  hvsubsub4i  27300  hvnegdii  27303  hvsubeq0i  27304  hvsubcan2i  27305  hvaddcani  27306  hvsubaddi  27307  normlem0  27350  normlem5  27355  normlem9  27359  bcseqi  27361  norm-iii-i  27380  norm3difi  27388  normpar2i  27397  polid2i  27398  polidi  27399  h1de2i  27796  pjsubii  27921  eigposi  28079  lnop0  28209  lnopunilem1  28253  lnophmlem2  28260  lnfn0i  28285
  Copyright terms: Public domain W3C validator