Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopunilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopunilem2 28254
 Description: Lemma for lnopunii 28255. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopunilem.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopunilem.2 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
lnopunilem.3 𝐴 ∈ ℋ
lnopunilem.4 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
lnopunilem2 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)
Distinct variable group:   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem lnopunilem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) = (if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
21fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))
3 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
43fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵))))
52, 4eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) → ((ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
6 lnopunilem.1 . . . . 5 𝑇 ∈ LinOp
7 lnopunilem.2 . . . . 5 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
8 lnopunilem.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
9 lnopunilem.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
10 0cn 9911 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
1110elimel 4100 . . . . 5 if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) ∈ ℂ
126, 7, 8, 9, 11lnopunilem1 28253 . . . 4 (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(if(𝑦 ∈ ℂ, 𝑦, 0) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
135, 12dedth 4089 . . 3 (𝑦 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
1413rgen 2906 . 2 𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
156lnopfi 28212 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ ℋ
1615ffvelrni 6266 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
178, 16ax-mp 5 . . . 4 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
1815ffvelrni 6266 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
199, 18ax-mp 5 . . . 4 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
2017, 19hicli 27322 . . 3 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ
218, 9hicli 27322 . . 3 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
22 recan 13924 . . 3 ((((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)))
2320, 21, 22mp2an 704 . 2 (∀𝑦 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑦 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝑦 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵))
2414, 23mpbi 219 1 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ifcif 4036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820  ℜcre 13685   ℋchil 27160   ·ih csp 27163  normℎcno 27164  LinOpclo 27188 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hv0cl 27244  ax-hfvmul 27246  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-hnorm 27209  df-lnop 28084 This theorem is referenced by:  lnopunii  28255
 Copyright terms: Public domain W3C validator