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Theorem lnopunilem1 25586
Description: Lemma for lnopunii 25588. (Contributed by NM, 14-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopunilem.1  |-  T  e. 
LinOp
lnopunilem.2  |-  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x )
lnopunilem.3  |-  A  e. 
~H
lnopunilem.4  |-  B  e. 
~H
lnopunilem1.5  |-  C  e.  CC
Assertion
Ref Expression
lnopunilem1  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( Re `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
Distinct variable group:    x, T
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)

Proof of Theorem lnopunilem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopunilem1.5 . . . 4  |-  C  e.  CC
2 lnopunilem.3 . . . . . 6  |-  A  e. 
~H
3 lnopunilem.1 . . . . . . . 8  |-  T  e. 
LinOp
43lnopfi 25545 . . . . . . 7  |-  T : ~H
--> ~H
54ffvelrni 5954 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( T `  A )  e.  ~H )
62, 5ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( T `
 A )  e. 
~H
7 lnopunilem.4 . . . . . 6  |-  B  e. 
~H
84ffvelrni 5954 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( T `  B )  e.  ~H )
97, 8ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( T `
 B )  e. 
~H
106, 9hicli 24655 . . . 4  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  B ) )  e.  CC
111, 10mulcli 9505 . . 3  |-  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  e.  CC
12 reval 12716 . . 3  |-  ( ( C  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  /  2 ) )
1311, 12ax-mp 5 . 2  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  /  2 )
142, 7hicli 24655 . . . . 5  |-  ( A 
.ih  B )  e.  CC
151, 14mulcli 9505 . . . 4  |-  ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  e.  CC
16 reval 12716 . . . 4  |-  ( ( C  x.  ( A 
.ih  B ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( C  x.  ( A  .ih  B
) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )  /  2 ) )
1715, 16ax-mp 5 . . 3  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `
 ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )  / 
2 )
18 lnopunilem.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x )
19 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) )
2019fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
21 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  y )
)
2220, 21eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )  <->  (
normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
2322cbvralv 3053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
2418, 23mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )
25 oveq1 6210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )  ->  ( ( normh `  ( T `  y )
) ^ 2 )  =  ( ( normh `  y ) ^ 2 ) )
264ffvelrni 5954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
27 normsq 24708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T `  y )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  y ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  y ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) ) )
29 normsq 24708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y ) ^ 2 )  =  ( y  .ih  y
) )
3028, 29eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  ( T `  y )
) ^ 2 )  =  ( ( normh `  y ) ^ 2 )  <->  ( ( T `
 y )  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y 
.ih  y ) ) )
3125, 30syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )  ->  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y ) ) )
3231ralimia 2817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )  ->  A. y  e.  ~H  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y ) )
3324, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 y )  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y 
.ih  y )
34 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
3534, 34oveq12d 6221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
) )
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  A  ->  y  =  A )
3736, 36oveq12d 6221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  (
y  .ih  y )  =  ( A  .ih  A ) )
3835, 37eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  <->  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A
) )  =  ( A  .ih  A ) ) )
3938rspcv 3175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A. y  e.  ~H  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  -> 
( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
)  =  ( A 
.ih  A ) ) )
402, 33, 39mp2 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) )  =  ( A  .ih  A
)
4140oveq2i 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) )
4241oveq2i 6214 . . . . . . . 8  |-  ( C  x.  ( ( * `
 C )  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
) ) )  =  ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )
43 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  ( T `  y )  =  ( T `  B ) )
4443, 43oveq12d 6221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
) )
45 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  y  =  B )
4645, 45oveq12d 6221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
y  .ih  y )  =  ( B  .ih  B ) )
4744, 46eqeq12d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  <->  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( B  .ih  B ) ) )
4847rspcv 3175 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( A. y  e.  ~H  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  -> 
( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
)  =  ( B 
.ih  B ) ) )
497, 33, 48mp2 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) )  =  ( B  .ih  B
)
5042, 49oveq12i 6215 . . . . . . 7  |-  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
) )  =  ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )
5150oveq1i 6213 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )
521cjcli 12779 . . . . . . . . . 10  |-  ( * `
 C )  e.  CC
536, 6hicli 24655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) )  e.  CC
5452, 53mulcli 9505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) )  e.  CC
551, 54mulcli 9505 . . . . . . . 8  |-  ( C  x.  ( ( * `
 C )  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
) ) )  e.  CC
569, 9hicli 24655 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) )  e.  CC
5711cjcli 12779 . . . . . . . 8  |-  ( * `
 ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  e.  CC
5855, 56, 11, 57add42i 9704 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) ) )
592, 2hicli 24655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
.ih  A )  e.  CC
6052, 59mulcli 9505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )  e.  CC
611, 60mulcli 9505 . . . . . . . . 9  |-  ( C  x.  ( ( * `
 C )  x.  ( A  .ih  A
) ) )  e.  CC
627, 7hicli 24655 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
.ih  B )  e.  CC
6315cjcli 12779 . . . . . . . . 9  |-  ( * `
 ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  e.  CC
6461, 62, 15, 63add42i 9704 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) ) )
651, 2hvmulcli 24588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  .h  A )  e. 
~H
6665, 7hvaddcli 24592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  .h  A )  +h  B )  e. 
~H
67 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  ( T `  y )  =  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )
6867, 67oveq12d 6221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) )  .ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) ) )
69 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )
7069, 69oveq12d 6221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  (
y  .ih  y )  =  ( ( ( C  .h  A )  +h  B )  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )
7168, 70eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  (
( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  <->  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  .ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) )  =  ( ( ( C  .h  A
)  +h  B ) 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) ) )
7271rspcv 3175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  .h  A
)  +h  B )  e.  ~H  ->  ( A. y  e.  ~H  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  -> 
( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) )  .ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) )  =  ( ( ( C  .h  A )  +h  B )  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) ) )
7366, 33, 72mp2 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) 
.ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )  =  ( ( ( C  .h  A )  +h  B )  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )
74 ax-his2 24657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  .h  A
)  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  (
( C  .h  A
)  +h  B )  e.  ~H )  -> 
( ( ( C  .h  A )  +h  B )  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )  =  ( ( ( C  .h  A
)  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  +  ( B  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) ) ) )
7565, 7, 66, 74mp3an 1315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  .h  A
)  +h  B ) 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( ( C  .h  A )  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) )  +  ( B  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) )
76 ax-his3 24658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  (
( C  .h  A
)  +h  B )  e.  ~H )  -> 
( ( C  .h  A )  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )  =  ( C  x.  ( A  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) ) )
771, 2, 66, 76mp3an 1315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  .h  A ) 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( C  x.  ( A  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) )
78 his7 24664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( C  .h  A
)  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )  =  ( ( A  .ih  ( C  .h  A ) )  +  ( A  .ih  B ) ) )
792, 65, 7, 78mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( A  .ih  ( C  .h  A
) )  +  ( A  .ih  B ) )
80 his5 24660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( A  .ih  ( C  .h  A ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
811, 2, 2, 80mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
.ih  ( C  .h  A ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )
8281oveq1i 6213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  .ih  ( C  .h  A ) )  +  ( A  .ih  B ) )  =  ( ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )  +  ( A  .ih  B ) )
8379, 82eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( ( * `
 C )  x.  ( A  .ih  A
) )  +  ( A  .ih  B ) )
8483oveq2i 6214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  x.  ( A  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )  =  ( C  x.  (
( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )  +  ( A  .ih  B ) ) )
851, 60, 14adddii 9510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  x.  ( ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )  +  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
8677, 84, 853eqtri 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  .h  A ) 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
87 his7 24664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  ( C  .h  A
)  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( B  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )  =  ( ( B  .ih  ( C  .h  A ) )  +  ( B  .ih  B ) ) )
887, 65, 7, 87mp3an 1315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( B  .ih  ( C  .h  A
) )  +  ( B  .ih  B ) )
89 his5 24660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( B  .ih  ( C  .h  A ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B  .ih  A ) ) )
901, 7, 2, 89mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B 
.ih  ( C  .h  A ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B  .ih  A ) )
911, 14cjmuli 12799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( * `
 ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( * `
 ( A  .ih  B ) ) )
927, 2his1i 24674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B 
.ih  A )  =  ( * `  ( A  .ih  B ) )
9392oveq2i 6214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( * `  C )  x.  ( B  .ih  A ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( * `
 ( A  .ih  B ) ) )
9491, 93eqtr4i 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( * `
 ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( B 
.ih  A ) )
9590, 94eqtr4i 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
.ih  ( C  .h  A ) )  =  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
9695oveq1i 6213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  .ih  ( C  .h  A ) )  +  ( B  .ih  B ) )  =  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B  .ih  B ) )
9788, 96eqtri 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )
9886, 97oveq12i 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  .h  A
)  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  +  ( B  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) ) )
9973, 75, 983eqtrri 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) ) )  =  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) 
.ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )
1003lnopli 25544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) ) )
1011, 2, 7, 100mp3an 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T `
 ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) )
102101, 101oveq12i 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) 
.ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )  =  ( ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) )
1031, 6hvmulcli 24588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  .h  ( T `  A ) )  e. 
~H
104103, 9hvaddcli 24592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  .h  ( T `
 A ) )  +h  ( T `  B ) )  e. 
~H
105 ax-his2 24657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  .h  ( T `  A )
)  e.  ~H  /\  ( T `  B )  e.  ~H  /\  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) )  =  ( ( ( C  .h  ( T `  A )
)  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) ) ) )
106103, 9, 104, 105mp3an 1315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( ( C  .h  ( T `  A ) )  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) ) )
107102, 106eqtri 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) 
.ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )  =  ( ( ( C  .h  ( T `  A ) )  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) ) )
108 ax-his3 24658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( T `  A )  e.  ~H  /\  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( ( C  .h  ( T `  A ) )  .ih  ( ( C  .h  ( T `
 A ) )  +h  ( T `  B ) ) )  =  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) ) ) )
1091, 6, 104, 108mp3an 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  .h  ( T `
 A ) ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) ) )
110 his7 24664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T `  A
)  e.  ~H  /\  ( C  .h  ( T `  A )
)  e.  ~H  /\  ( T `  B )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  A )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) )  =  ( ( ( T `  A
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  +  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )
1116, 103, 9, 110mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( ( T `
 A )  .ih  ( C  .h  ( T `  A )
) )  +  ( ( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) )
112 his5 24660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( T `  A )  e.  ~H  /\  ( T `  A )  e.  ~H )  ->  (
( T `  A
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) ) ) )
1131, 6, 6, 112mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( C  .h  ( T `  A ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) )
114113oveq1i 6213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T `  A
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  +  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) )  =  ( ( ( * `  C )  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) ) )  +  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )
115111, 114eqtri 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( ( * `
 C )  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
) )  +  ( ( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) )
116115oveq2i 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) )  +  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )
1171, 54, 10adddii 9510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  x.  ( ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) )  +  ( ( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )
118109, 116, 1173eqtri 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  .h  ( T `
 A ) ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )
119 his7 24664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T `  B
)  e.  ~H  /\  ( C  .h  ( T `  A )
)  e.  ~H  /\  ( T `  B )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  B )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) )  =  ( ( ( T `  B
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
) ) )
1209, 103, 9, 119mp3an 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( ( T `
 B )  .ih  ( C  .h  ( T `  A )
) )  +  ( ( T `  B
)  .ih  ( T `  B ) ) )
121 his5 24660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( T `  B )  e.  ~H  /\  ( T `  A )  e.  ~H )  ->  (
( T `  B
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  B
)  .ih  ( T `  A ) ) ) )
1221, 9, 6, 121mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( C  .h  ( T `  A ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  A ) ) )
1231, 10cjmuli 12799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( * `
 ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  (
* `  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B
) ) ) )
1249, 6his1i 24674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  A ) )  =  ( * `  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) )
125124oveq2i 6214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 B )  .ih  ( T `  A ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( * `
 ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )
126123, 125eqtr4i 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( * `
 ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  B
)  .ih  ( T `  A ) ) )
127122, 126eqtr4i 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( C  .h  ( T `  A ) ) )  =  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )
128127oveq1i 6213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T `  B
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
) )  =  ( ( * `  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B
) ) ) )  +  ( ( T `
 B )  .ih  ( T `  B ) ) )
129120, 128eqtri 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) )
130118, 129oveq12i 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  .h  ( T `  A )
)  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) ) )
13199, 107, 1303eqtrri 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) ) )
13264, 131eqtr4i 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) ) )
13358, 132eqtr4i 2486 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )
13451, 133eqtr3i 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )
13561, 62addcli 9504 . . . . . 6  |-  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )  +  ( B  .ih  B
) )  e.  CC
13611, 57addcli 9504 . . . . . 6  |-  ( ( C  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  e.  CC
13715, 63addcli 9504 . . . . . 6  |-  ( ( C  x.  ( A 
.ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )  e.  CC
138135, 136, 137addcani 9676 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )  <->  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )
139134, 138mpbi 208 . . . 4  |-  ( ( C  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )
140139oveq1i 6213 . . 3  |-  ( ( ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  /  2
)  =  ( ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )  /  2
)
14117, 140eqtr4i 2486 . 2  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  /  2 )
14213, 141eqtr4i 2486 1  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( Re `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394    + caddc 9399    x. cmul 9401    / cdiv 10107   2c2 10485   ^cexp 11985   *ccj 12706   Recre 12707   ~Hchil 24493    +h cva 24494    .h csm 24495    .ih csp 24496   normhcno 24497   LinOpclo 24521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-hilex 24573  ax-hfvadd 24574  ax-hv0cl 24577  ax-hfvmul 24579  ax-hvmul0 24584  ax-hfi 24653  ax-his1 24656  ax-his2 24657  ax-his3 24658  ax-his4 24659
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-hnorm 24542  df-lnop 25417
This theorem is referenced by:  lnopunilem2  25587
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