Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivthle2 23033
 Description: The intermediate value theorem with weak inequality, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivthle2.9 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ≤ 𝑈𝑈 ≤ (𝐹𝐴)))
Assertion
Ref Expression
ivthle2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivthle2
StepHypRef Expression
1 ioossicc 12130 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2 ivth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 ivth.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 ivth.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → 𝑈 ∈ ℝ)
8 ivth.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < 𝐵)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → 𝐴 < 𝐵)
10 ivth.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
12 ivth.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
14 ivth.8 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1514adantlr 747 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴)))
173, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16ivth2 23031 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
18 ssrexv 3630 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈))
191, 17, 18mpsyl 66 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
2019anassrs 678 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) < 𝑈) ∧ 𝑈 < (𝐹𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
212rexrd 9968 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
224rexrd 9968 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
232, 4, 8ltled 10064 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
24 lbicc2 12159 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 eqcom 2617 . . . . . . 7 ((𝐹𝑐) = 𝑈𝑈 = (𝐹𝑐))
27 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐴 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐴))
2827eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐴 → (𝑈 = (𝐹𝑐) ↔ 𝑈 = (𝐹𝐴)))
2926, 28syl5bb 271 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐴 → ((𝐹𝑐) = 𝑈𝑈 = (𝐹𝐴)))
3029rspcev 3282 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 = (𝐹𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
3125, 30sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝑈 = (𝐹𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
3231adantlr 747 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) < 𝑈) ∧ 𝑈 = (𝐹𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
33 ivthle2.9 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ≤ 𝑈𝑈 ≤ (𝐹𝐴)))
3433simprd 478 . . . . 5 (𝜑𝑈 ≤ (𝐹𝐴))
3514ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
36 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
3736eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
3837rspcv 3278 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
3925, 35, 38sylc 63 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
406, 39leloed 10059 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑈 < (𝐹𝐴) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐴))))
4134, 40mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐴) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐴)))
4241adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) < 𝑈) → (𝑈 < (𝐹𝐴) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐴)))
4320, 32, 42mpjaodan 823 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) < 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
44 ubicc2 12160 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4521, 22, 23, 44syl3anc 1318 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
46 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑐 = 𝐵 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐵))
4746eqeq1d 2612 . . . 4 (𝑐 = 𝐵 → ((𝐹𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹𝐵) = 𝑈))
4847rspcev 3282 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝐵) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
4945, 48sylan 487 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
5033simpld 474 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) ≤ 𝑈)
51 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
5251eleq1d 2672 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
5352rspcv 3278 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
5445, 35, 53sylc 63 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
5554, 6leloed 10059 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ≤ 𝑈 ↔ ((𝐹𝐵) < 𝑈 ∨ (𝐹𝐵) = 𝑈)))
5650, 55mpbid 221 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈 ∨ (𝐹𝐵) = 𝑈))
5743, 49, 56mpjaodan 823 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  –cn→ccncf 22487 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489 This theorem is referenced by:  ivthicc  23034  recosf1o  24085
 Copyright terms: Public domain W3C validator