Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2eqi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2eqi 27096
 Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eqi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2eqi.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip2eqi.u 𝑈 ∈ CPreHilOLD
Assertion
Ref Expression
ip2eqi ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ip2eqi
StepHypRef Expression
1 ip2eqi.u . . . . . 6 𝑈 ∈ CPreHilOLD
21phnvi 27055 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
3 ip2eqi.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 eqid 2610 . . . . . 6 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
53, 4nvmcl 26885 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
62, 5mp3an1 1403 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
7 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) → (𝑥𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴))
8 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) → (𝑥𝑃𝐵) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵))
97, 8eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑥 = (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) → ((𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
109rspcv 3278 . . . 4 ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
116, 10syl 17 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
12 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
13 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
14 ip2eqi.7 . . . . . . . . 9 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
153, 4, 14dipsubdi 27088 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
161, 15mpan 702 . . . . . . 7 (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
176, 12, 13, 16syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
1817eqeq1d 2612 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0))
19 eqid 2610 . . . . . . . 8 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
203, 19, 14ipz 26958 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈)))
212, 20mpan 702 . . . . . 6 ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈)))
226, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈)))
2318, 22bitr3d 269 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈)))
243, 14dipcl 26951 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
252, 24mp3an1 1403 . . . . . 6 (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
266, 12, 25syl2anc 691 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
273, 14dipcl 26951 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
282, 27mp3an1 1403 . . . . . 6 (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
296, 28sylancom 698 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
3026, 29subeq0ad 10281 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
313, 4, 19nvmeq0 26897 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈) ↔ 𝐴 = 𝐵))
322, 31mp3an1 1403 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈) ↔ 𝐴 = 𝐵))
3323, 30, 323bitr3d 297 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
3411, 33sylibd 228 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
35 oveq2 6557 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵))
3635ralrimivw 2950 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵))
3734, 36impbid1 214 1 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   − cmin 10145  NrmCVeccnv 26823  BaseSetcba 26825  0veccn0v 26827   −𝑣 cnsb 26828  ·𝑖OLDcdip 26939  CPreHilOLDccphlo 27051 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-t1 20928  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ph 27052 This theorem is referenced by:  phoeqi  27097
 Copyright terms: Public domain W3C validator