MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2eqi Structured version   Unicode version

Theorem ip2eqi 26343
Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eqi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip2eqi.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip2eqi.u  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Assertion
Ref Expression
ip2eqi  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  <-> 
A  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, P    x, U    x, X

Proof of Theorem ip2eqi
StepHypRef Expression
1 ip2eqi.u . . . . . 6  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 26302 . . . . 5  |-  U  e.  NrmCVec
3 ip2eqi.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
53, 4nvmcl 26113 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( -v `  U ) B )  e.  X )
62, 5mp3an1 1347 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( -v
`  U ) B )  e.  X )
7 oveq1 6312 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A ( -v `  U ) B )  ->  (
x P A )  =  ( ( A ( -v `  U
) B ) P A ) )
8 oveq1 6312 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A ( -v `  U ) B )  ->  (
x P B )  =  ( ( A ( -v `  U
) B ) P B ) )
97, 8eqeq12d 2451 . . . . 5  |-  ( x  =  ( A ( -v `  U ) B )  ->  (
( x P A )  =  ( x P B )  <->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  =  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) ) )
109rspcv 3184 . . . 4  |-  ( ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  -> 
( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  =  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) ) )
116, 10syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  ->  ( ( A ( -v `  U
) B ) P A )  =  ( ( A ( -v
`  U ) B ) P B ) ) )
12 simpl 458 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
13 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
14 ip2eqi.7 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
153, 4, 14dipsubdi 26335 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( A ( -v
`  U ) B ) P ( A ( -v `  U
) B ) )  =  ( ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) ) )
161, 15mpan 674 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ( -v
`  U ) B )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P ( A ( -v `  U ) B ) )  =  ( ( ( A ( -v
`  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U
) B ) P B ) ) )
176, 12, 13, 16syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P ( A ( -v `  U ) B ) )  =  ( ( ( A ( -v
`  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U
) B ) P B ) ) )
1817eqeq1d 2431 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( A ( -v `  U
) B ) P ( A ( -v
`  U ) B ) )  =  0  <-> 
( ( ( A ( -v `  U
) B ) P A )  -  (
( A ( -v
`  U ) B ) P B ) )  =  0 ) )
19 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
203, 19, 14ipz 26203 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A ( -v `  U ) B )  e.  X )  -> 
( ( ( A ( -v `  U
) B ) P ( A ( -v
`  U ) B ) )  =  0  <-> 
( A ( -v
`  U ) B )  =  ( 0vec `  U ) ) )
212, 20mpan 674 . . . . . 6  |-  ( ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  ->  (
( ( A ( -v `  U ) B ) P ( A ( -v `  U ) B ) )  =  0  <->  ( A ( -v `  U ) B )  =  ( 0vec `  U
) ) )
226, 21syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( A ( -v `  U
) B ) P ( A ( -v
`  U ) B ) )  =  0  <-> 
( A ( -v
`  U ) B )  =  ( 0vec `  U ) ) )
2318, 22bitr3d 258 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) )  =  0  <-> 
( A ( -v
`  U ) B )  =  ( 0vec `  U ) ) )
243, 14dipcl 26196 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( A ( -v
`  U ) B ) P A )  e.  CC )
252, 24mp3an1 1347 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ( -v
`  U ) B )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  e.  CC )
266, 12, 25syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  e.  CC )
273, 14dipcl 26196 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A ( -v
`  U ) B ) P B )  e.  CC )
282, 27mp3an1 1347 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ( -v
`  U ) B )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B )  e.  CC )
296, 28sylancom 671 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B )  e.  CC )
3026, 29subeq0ad 9995 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) )  =  0  <-> 
( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  =  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) ) )
313, 4, 19nvmeq0 26130 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A ( -v
`  U ) B )  =  ( 0vec `  U )  <->  A  =  B ) )
322, 31mp3an1 1347 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B )  =  (
0vec `  U )  <->  A  =  B ) )
3323, 30, 323bitr3d 286 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( A ( -v `  U
) B ) P A )  =  ( ( A ( -v
`  U ) B ) P B )  <-> 
A  =  B ) )
3411, 33sylibd 217 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  ->  A  =  B ) )
35 oveq2 6313 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
x P A )  =  ( x P B ) )
3635ralrimivw 2847 . 2  |-  ( A  =  B  ->  A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B ) )
3734, 36impbid1 206 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538    - cmin 9859   NrmCVeccnv 26048   BaseSetcba 26050   0veccn0v 26052   -vcnsb 26053   .iOLDcdip 26181   CPreHil OLDccphlo 26298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-t1 20261  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065  df-dip 26182  df-ph 26299
This theorem is referenced by:  phoeqi  26344
  Copyright terms: Public domain W3C validator