MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2eqi Structured version   Unicode version

Theorem ip2eqi 24257
Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eqi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip2eqi.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip2eqi.u  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Assertion
Ref Expression
ip2eqi  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  <-> 
A  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, P    x, U    x, X

Proof of Theorem ip2eqi
StepHypRef Expression
1 ip2eqi.u . . . . . 6  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 24216 . . . . 5  |-  U  e.  NrmCVec
3 ip2eqi.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
53, 4nvmcl 24027 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( -v `  U ) B )  e.  X )
62, 5mp3an1 1301 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( -v
`  U ) B )  e.  X )
7 oveq1 6098 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A ( -v `  U ) B )  ->  (
x P A )  =  ( ( A ( -v `  U
) B ) P A ) )
8 oveq1 6098 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A ( -v `  U ) B )  ->  (
x P B )  =  ( ( A ( -v `  U
) B ) P B ) )
97, 8eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( x  =  ( A ( -v `  U ) B )  ->  (
( x P A )  =  ( x P B )  <->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  =  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) ) )
109rspcv 3069 . . . 4  |-  ( ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  -> 
( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  =  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) ) )
116, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  ->  ( ( A ( -v `  U
) B ) P A )  =  ( ( A ( -v
`  U ) B ) P B ) ) )
12 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
13 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
14 ip2eqi.7 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
153, 4, 14dipsubdi 24249 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( A ( -v
`  U ) B ) P ( A ( -v `  U
) B ) )  =  ( ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) ) )
161, 15mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ( -v
`  U ) B )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P ( A ( -v `  U ) B ) )  =  ( ( ( A ( -v
`  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U
) B ) P B ) ) )
176, 12, 13, 16syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P ( A ( -v `  U ) B ) )  =  ( ( ( A ( -v
`  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U
) B ) P B ) ) )
1817eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( A ( -v `  U
) B ) P ( A ( -v
`  U ) B ) )  =  0  <-> 
( ( ( A ( -v `  U
) B ) P A )  -  (
( A ( -v
`  U ) B ) P B ) )  =  0 ) )
19 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
203, 19, 14ipz 24117 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A ( -v `  U ) B )  e.  X )  -> 
( ( ( A ( -v `  U
) B ) P ( A ( -v
`  U ) B ) )  =  0  <-> 
( A ( -v
`  U ) B )  =  ( 0vec `  U ) ) )
212, 20mpan 670 . . . . . 6  |-  ( ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  ->  (
( ( A ( -v `  U ) B ) P ( A ( -v `  U ) B ) )  =  0  <->  ( A ( -v `  U ) B )  =  ( 0vec `  U
) ) )
226, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( A ( -v `  U
) B ) P ( A ( -v
`  U ) B ) )  =  0  <-> 
( A ( -v
`  U ) B )  =  ( 0vec `  U ) ) )
2318, 22bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) )  =  0  <-> 
( A ( -v
`  U ) B )  =  ( 0vec `  U ) ) )
243, 14dipcl 24110 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( A ( -v
`  U ) B ) P A )  e.  CC )
252, 24mp3an1 1301 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ( -v
`  U ) B )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  e.  CC )
266, 12, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  e.  CC )
273, 14dipcl 24110 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A ( -v `  U ) B )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A ( -v
`  U ) B ) P B )  e.  CC )
282, 27mp3an1 1301 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ( -v
`  U ) B )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B )  e.  CC )
296, 28sylancom 667 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B )  e.  CC )
3026, 29subeq0ad 9729 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  -  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) )  =  0  <-> 
( ( A ( -v `  U ) B ) P A )  =  ( ( A ( -v `  U ) B ) P B ) ) )
313, 4, 19nvmeq0 24044 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A ( -v
`  U ) B )  =  ( 0vec `  U )  <->  A  =  B ) )
322, 31mp3an1 1301 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A ( -v `  U ) B )  =  (
0vec `  U )  <->  A  =  B ) )
3323, 30, 323bitr3d 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( A ( -v `  U
) B ) P A )  =  ( ( A ( -v
`  U ) B ) P B )  <-> 
A  =  B ) )
3411, 33sylibd 214 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  ->  A  =  B ) )
35 oveq2 6099 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
x P A )  =  ( x P B ) )
3635ralrimivw 2800 . 2  |-  ( A  =  B  ->  A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B ) )
3734, 36impbid1 203 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( x P A )  =  ( x P B )  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282    - cmin 9595   NrmCVeccnv 23962   BaseSetcba 23964   0veccn0v 23966   -vcnsb 23967   .iOLDcdip 24095   CPreHil OLDccphlo 24212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-t1 18918  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ginv 23680  df-gdiv 23681  df-ablo 23769  df-vc 23924  df-nv 23970  df-va 23973  df-ba 23974  df-sm 23975  df-0v 23976  df-vs 23977  df-nmcv 23978  df-ims 23979  df-dip 24096  df-ph 24213
This theorem is referenced by:  phoeqi  24258
  Copyright terms: Public domain W3C validator