Theorem ip2eqi 9858

Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal.

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eqi.1	|- X = (BaseSet` U)
ip2eqi.7	|- P = (.i` U)
ip2eqi.u	|- U e. CPreHil

Assertion

Ref	Expression
ip2eqi	|- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) <-> A = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,P   x,U   x,X

Proof of Theorem ip2eqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2eqi.u	. . . . . 6 |- U e. CPreHil
2	1	phnvi 9816	. . . . 5 |- U e. NrmCVec
3		ip2eqi.1	. . . . . 6 |- X = (BaseSet` U)
4		eqid 1884	. . . . . 6 |- (-v` U) = (-v` U)
5	3, 4	nvmcl 9599	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (A(-v` U)B) e. X)
6	2, 5	mp3an1 1178	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A(-v` U)B) e. X)
7		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (x = (A(-v` U)B) -> (xPA) = ((A(-v` U)B)PA))
8		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (x = (A(-v` U)B) -> (xPB) = ((A(-v` U)B)PB))
9	7, 8	eqeq12d 1899	. . . . 5 |- (x = (A(-v` U)B) -> ((xPA) = (xPB) <-> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
10	9	rcla4v 2376	. . . 4 |- ((A(-v` U)B) e. X -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) -> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
11	6, 10	syl 12	. . 3 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) -> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
12		simpl 346	. . . . . . 7 |- ((A e. X /\ B e. X) -> A e. X)
13		simpr 350	. . . . . . 7 |- ((A e. X /\ B e. X) -> B e. X)
14		ip2eqi.7	. . . . . . . . 9 |- P = (.i` U)
15	3, 4, 14	ipsubdi 9850	. . . . . . . 8 |- ((U e. CPreHil /\ ((A(-v` U)B) e. X /\ A e. X /\ B e. X)) -> ((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)))
16	1, 15	mpan 759	. . . . . . 7 |- (((A(-v` U)B) e. X /\ A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)))
17	6, 12, 13, 16	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)))
18	17	eqeq1d 1892	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0))
19		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- (0v` U) = (0v` U)
20	3, 19, 14	ipz 9711	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A(-v` U)B) e. X) -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
21	2, 20	mpan 759	. . . . . 6 |- ((A(-v` U)B) e. X -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
22	6, 21	syl 12	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
23	18, 22	bitr3d 589	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
24	3, 14	ipcl 9704	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A(-v` U)B) e. X /\ A e. X) -> ((A(-v` U)B)PA) e. CC)
25	2, 24	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- (((A(-v` U)B) e. X /\ A e. X) -> ((A(-v` U)B)PA) e. CC)
26	6, 12, 25	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PA) e. CC)
27	3, 14	ipcl 9704	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A(-v` U)B) e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PB) e. CC)
28	2, 27	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- (((A(-v` U)B) e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PB) e. CC)
29	6, 28	sylancom 531	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PB) e. CC)
30		subeq0 6563	. . . . 5 |- ((((A(-v` U)B)PA) e. CC /\ ((A(-v` U)B)PB) e. CC) -> ((((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0 <-> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
31	26, 29, 30	syl11anc 524	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0 <-> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
32	3, 4, 19	nvmeq0 9616	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B) = (0v` U) <-> A = B))
33	2, 32	mp3an1 1178	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B) = (0v` U) <-> A = B))
34	23, 31, 33	3bitr3d 607	. . 3 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB) <-> A = B))
35	11, 34	sylibd 219	. 2 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) -> A = B))
36		opreq2 4890	. . . 4 |- (A = B -> (xPA) = (xPB))
37	36	a1d 15	. . 3 |- (A = B -> (x e. X -> (xPA) = (xPB)))
38	37	r19.21aiv 2175	. 2 |- (A = B -> A.x e. X (xPA) = (xPB))
39	35, 38	impbid1 575	1 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) <-> A = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   - cmin 6445  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  0vcn0v 9539  -vcnsb 9540  .icip 9688  CPreHilcphl 9812

This theorem is referenced by:  phoeqi 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813

Copyright terms: Public domain