Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpyco2 22586
 Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyco2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.p (𝜑𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco2.h (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
Assertion
Ref Expression
htpyco2 (𝜑 → (𝑃𝐻) ∈ ((𝑃𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃𝐺)))

Proof of Theorem htpyco2
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyco2.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 cntop1 20854 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4 eqid 2610 . . . 4 𝐽 = 𝐽
54toptopon 20548 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
63, 5sylib 207 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
7 htpyco2.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
8 cnco 20880 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
91, 7, 8syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
10 htpyco2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11 cnco 20880 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
1210, 7, 11syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
136, 1, 10htpycn 22580 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
14 htpyco2.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
1513, 14sseldd 3569 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
16 cnco 20880 . . 3 ((𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃𝐻) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
1715, 7, 16syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐻) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
186, 1, 10, 14htpyi 22581 . . . . 5 ((𝜑𝑠 𝐽) → ((𝑠𝐻0) = (𝐹𝑠) ∧ (𝑠𝐻1) = (𝐺𝑠)))
1918simpld 474 . . . 4 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑠𝐻0) = (𝐹𝑠))
2019fveq2d 6107 . . 3 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑃‘(𝑠𝐻0)) = (𝑃‘(𝐹𝑠)))
21 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 𝐽) → 𝑠 𝐽)
22 0elunit 12161 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]1)
23 opelxpi 5072 . . . . . 6 ((𝑠 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑠, 0⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1)))
2421, 22, 23sylancl 693 . . . . 5 ((𝜑𝑠 𝐽) → ⟨𝑠, 0⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1)))
25 iitopon 22490 . . . . . . . 8 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
26 txtopon 21204 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘( 𝐽 × (0[,]1))))
276, 25, 26sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘( 𝐽 × (0[,]1))))
28 cntop2 20855 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
291, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ Top)
30 eqid 2610 . . . . . . . . 9 𝐾 = 𝐾
3130toptopon 20548 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
3229, 31sylib 207 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
33 cnf2 20863 . . . . . . 7 (((𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘( 𝐽 × (0[,]1))) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾)) → 𝐻:( 𝐽 × (0[,]1))⟶ 𝐾)
3427, 32, 15, 33syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑𝐻:( 𝐽 × (0[,]1))⟶ 𝐾)
35 fvco3 6185 . . . . . 6 ((𝐻:( 𝐽 × (0[,]1))⟶ 𝐾 ∧ ⟨𝑠, 0⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
3634, 35sylan 487 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ⟨𝑠, 0⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
3724, 36syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑠 𝐽) → ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
38 df-ov 6552 . . . 4 (𝑠(𝑃𝐻)0) = ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩)
39 df-ov 6552 . . . . 5 (𝑠𝐻0) = (𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)
4039fveq2i 6106 . . . 4 (𝑃‘(𝑠𝐻0)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩))
4137, 38, 403eqtr4g 2669 . . 3 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑠(𝑃𝐻)0) = (𝑃‘(𝑠𝐻0)))
424, 30cnf 20860 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
431, 42syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹: 𝐽 𝐾)
44 fvco3 6185 . . . 4 ((𝐹: 𝐽 𝐾𝑠 𝐽) → ((𝑃𝐹)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐹𝑠)))
4543, 44sylan 487 . . 3 ((𝜑𝑠 𝐽) → ((𝑃𝐹)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐹𝑠)))
4620, 41, 453eqtr4d 2654 . 2 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑠(𝑃𝐻)0) = ((𝑃𝐹)‘𝑠))
4718simprd 478 . . . 4 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑠𝐻1) = (𝐺𝑠))
4847fveq2d 6107 . . 3 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑃‘(𝑠𝐻1)) = (𝑃‘(𝐺𝑠)))
49 1elunit 12162 . . . . . 6 1 ∈ (0[,]1)
50 opelxpi 5072 . . . . . 6 ((𝑠 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑠, 1⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1)))
5121, 49, 50sylancl 693 . . . . 5 ((𝜑𝑠 𝐽) → ⟨𝑠, 1⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1)))
52 fvco3 6185 . . . . . 6 ((𝐻:( 𝐽 × (0[,]1))⟶ 𝐾 ∧ ⟨𝑠, 1⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
5334, 52sylan 487 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ⟨𝑠, 1⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
5451, 53syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑠 𝐽) → ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
55 df-ov 6552 . . . 4 (𝑠(𝑃𝐻)1) = ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩)
56 df-ov 6552 . . . . 5 (𝑠𝐻1) = (𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)
5756fveq2i 6106 . . . 4 (𝑃‘(𝑠𝐻1)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩))
5854, 55, 573eqtr4g 2669 . . 3 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑠(𝑃𝐻)1) = (𝑃‘(𝑠𝐻1)))
594, 30cnf 20860 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺: 𝐽 𝐾)
6010, 59syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺: 𝐽 𝐾)
61 fvco3 6185 . . . 4 ((𝐺: 𝐽 𝐾𝑠 𝐽) → ((𝑃𝐺)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐺𝑠)))
6260, 61sylan 487 . . 3 ((𝜑𝑠 𝐽) → ((𝑃𝐺)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐺𝑠)))
6348, 58, 623eqtr4d 2654 . 2 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑠(𝑃𝐻)1) = ((𝑃𝐺)‘𝑠))
646, 9, 12, 17, 46, 63ishtpyd 22582 1 (𝜑 → (𝑃𝐻) ∈ ((𝑃𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131  ∪ cuni 4372   × cxp 5036   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  [,]cicc 12049  Topctop 20517  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838   ×t ctx 21173  IIcii 22486   Htpy chtpy 22574 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cn 20841  df-tx 21175  df-ii 22488  df-htpy 22577 This theorem is referenced by:  phtpyco2  22597
 Copyright terms: Public domain W3C validator