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Theorem htpyco2 20393
Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyco2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
htpyco2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
htpyco2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( K  Cn  L ) )
htpyco2.h  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( J Htpy  K ) G ) )
Assertion
Ref Expression
htpyco2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  H
)  e.  ( ( P  o.  F ) ( J Htpy  L ) ( P  o.  G
) ) )

Proof of Theorem htpyco2
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyco2.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2 cntop1 18686 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
4 eqid 2433 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
54toptopon 18380 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
63, 5sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
7 htpyco2.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( K  Cn  L ) )
8 cnco 18712 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  P  e.  ( K  Cn  L ) )  -> 
( P  o.  F
)  e.  ( J  Cn  L ) )
91, 7, 8syl2anc 654 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  F
)  e.  ( J  Cn  L ) )
10 htpyco2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
11 cnco 18712 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( J  Cn  K )  /\  P  e.  ( K  Cn  L ) )  -> 
( P  o.  G
)  e.  ( J  Cn  L ) )
1210, 7, 11syl2anc 654 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  G
)  e.  ( J  Cn  L ) )
136, 1, 10htpycn 20387 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( J Htpy 
K ) G ) 
C_  ( ( J 
tX  II )  Cn  K ) )
14 htpyco2.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( J Htpy  K ) G ) )
1513, 14sseldd 3345 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
16 cnco 18712 . . 3  |-  ( ( H  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K )  /\  P  e.  ( K  Cn  L ) )  -> 
( P  o.  H
)  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  L ) )
1715, 7, 16syl2anc 654 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  H
)  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  L ) )
186, 1, 10, 14htpyi 20388 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
( s H 0 )  =  ( F `
 s )  /\  ( s H 1 )  =  ( G `
 s ) ) )
1918simpld 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
s H 0 )  =  ( F `  s ) )
2019fveq2d 5683 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  ( P `  ( s H 0 ) )  =  ( P `  ( F `  s ) ) )
21 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  s  e.  U. J )
22 0elunit 11390 . . . . . 6  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
23 opelxpi 4858 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  U. J  /\  0  e.  (
0 [,] 1 ) )  ->  <. s ,  0 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
2421, 22, 23sylancl 655 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  <. s ,  0 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
25 iitopon 20297 . . . . . . . 8  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
26 txtopon 19006 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( J  tX  II )  e.  (TopOn `  ( U. J  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
276, 25, 26sylancl 655 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  tX  II )  e.  (TopOn `  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) )
28 cntop2 18687 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
291, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
30 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. K
3130toptopon 18380 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3229, 31sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
33 cnf2 18695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  tX  II )  e.  (TopOn `  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  H  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )  ->  H : ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) --> U. K )
3427, 32, 15, 33syl3anc 1211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : ( U. J  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> U. K )
35 fvco3 5756 . . . . . 6  |-  ( ( H : ( U. J  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> U. K  /\  <. s ,  0 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( P  o.  H
) `  <. s ,  0 >. )  =  ( P `  ( H `
 <. s ,  0
>. ) ) )
3634, 35sylan 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  <. s ,  0 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( P  o.  H
) `  <. s ,  0 >. )  =  ( P `  ( H `
 <. s ,  0
>. ) ) )
3724, 36syldan 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
( P  o.  H
) `  <. s ,  0 >. )  =  ( P `  ( H `
 <. s ,  0
>. ) ) )
38 df-ov 6083 . . . 4  |-  ( s ( P  o.  H
) 0 )  =  ( ( P  o.  H ) `  <. s ,  0 >. )
39 df-ov 6083 . . . . 5  |-  ( s H 0 )  =  ( H `  <. s ,  0 >. )
4039fveq2i 5682 . . . 4  |-  ( P `
 ( s H 0 ) )  =  ( P `  ( H `  <. s ,  0 >. ) )
4137, 38, 403eqtr4g 2490 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
s ( P  o.  H ) 0 )  =  ( P `  ( s H 0 ) ) )
424, 30cnf 18692 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
431, 42syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : U. J --> U. K )
44 fvco3 5756 . . . 4  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  s  e.  U. J )  -> 
( ( P  o.  F ) `  s
)  =  ( P `
 ( F `  s ) ) )
4543, 44sylan 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
( P  o.  F
) `  s )  =  ( P `  ( F `  s ) ) )
4620, 41, 453eqtr4d 2475 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
s ( P  o.  H ) 0 )  =  ( ( P  o.  F ) `  s ) )
4718simprd 460 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
s H 1 )  =  ( G `  s ) )
4847fveq2d 5683 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  ( P `  ( s H 1 ) )  =  ( P `  ( G `  s ) ) )
49 1elunit 11391 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
50 opelxpi 4858 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  U. J  /\  1  e.  (
0 [,] 1 ) )  ->  <. s ,  1 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
5121, 49, 50sylancl 655 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  <. s ,  1 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
52 fvco3 5756 . . . . . 6  |-  ( ( H : ( U. J  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> U. K  /\  <. s ,  1 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( P  o.  H
) `  <. s ,  1 >. )  =  ( P `  ( H `
 <. s ,  1
>. ) ) )
5334, 52sylan 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  <. s ,  1 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( P  o.  H
) `  <. s ,  1 >. )  =  ( P `  ( H `
 <. s ,  1
>. ) ) )
5451, 53syldan 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
( P  o.  H
) `  <. s ,  1 >. )  =  ( P `  ( H `
 <. s ,  1
>. ) ) )
55 df-ov 6083 . . . 4  |-  ( s ( P  o.  H
) 1 )  =  ( ( P  o.  H ) `  <. s ,  1 >. )
56 df-ov 6083 . . . . 5  |-  ( s H 1 )  =  ( H `  <. s ,  1 >. )
5756fveq2i 5682 . . . 4  |-  ( P `
 ( s H 1 ) )  =  ( P `  ( H `  <. s ,  1 >. ) )
5854, 55, 573eqtr4g 2490 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
s ( P  o.  H ) 1 )  =  ( P `  ( s H 1 ) ) )
594, 30cnf 18692 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( J  Cn  K )  ->  G : U. J --> U. K
)
6010, 59syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : U. J --> U. K )
61 fvco3 5756 . . . 4  |-  ( ( G : U. J --> U. K  /\  s  e.  U. J )  -> 
( ( P  o.  G ) `  s
)  =  ( P `
 ( G `  s ) ) )
6260, 61sylan 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
( P  o.  G
) `  s )  =  ( P `  ( G `  s ) ) )
6348, 58, 623eqtr4d 2475 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
s ( P  o.  H ) 1 )  =  ( ( P  o.  G ) `  s ) )
646, 9, 12, 17, 46, 63ishtpyd 20389 1  |-  ( ph  ->  ( P  o.  H
)  e.  ( ( P  o.  F ) ( J Htpy  L ) ( P  o.  G
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   <.cop 3871   U.cuni 4079    X. cxp 4825    o. ccom 4831   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   0cc0 9270   1c1 9271   [,]cicc 11291   Topctop 18340  TopOnctopon 18341    Cn ccn 18670    tX ctx 18975   IIcii 20293   Htpy chtpy 20381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-icc 11295  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-topgen 14365  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-cn 18673  df-tx 18977  df-ii 20295  df-htpy 20384
This theorem is referenced by:  phtpyco2  20404
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