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Theorem htpyco2 18957
Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyco2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
htpyco2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
htpyco2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( K  Cn  L ) )
htpyco2.h  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( J Htpy  K ) G ) )
Assertion
Ref Expression
htpyco2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  H
)  e.  ( ( P  o.  F ) ( J Htpy  L ) ( P  o.  G
) ) )

Proof of Theorem htpyco2
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyco2.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2 cntop1 17258 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
4 eqid 2404 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
54toptopon 16953 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
63, 5sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
7 htpyco2.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( K  Cn  L ) )
8 cnco 17284 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  P  e.  ( K  Cn  L ) )  -> 
( P  o.  F
)  e.  ( J  Cn  L ) )
91, 7, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  F
)  e.  ( J  Cn  L ) )
10 htpyco2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
11 cnco 17284 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( J  Cn  K )  /\  P  e.  ( K  Cn  L ) )  -> 
( P  o.  G
)  e.  ( J  Cn  L ) )
1210, 7, 11syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  G
)  e.  ( J  Cn  L ) )
136, 1, 10htpycn 18951 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( J Htpy 
K ) G ) 
C_  ( ( J 
tX  II )  Cn  K ) )
14 htpyco2.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( J Htpy  K ) G ) )
1513, 14sseldd 3309 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
16 cnco 17284 . . 3  |-  ( ( H  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K )  /\  P  e.  ( K  Cn  L ) )  -> 
( P  o.  H
)  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  L ) )
1715, 7, 16syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  H
)  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  L ) )
186, 1, 10, 14htpyi 18952 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
( s H 0 )  =  ( F `
 s )  /\  ( s H 1 )  =  ( G `
 s ) ) )
1918simpld 446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
s H 0 )  =  ( F `  s ) )
2019fveq2d 5691 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  ( P `  ( s H 0 ) )  =  ( P `  ( F `  s ) ) )
21 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  s  e.  U. J )
22 0elunit 10971 . . . . . 6  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
23 opelxpi 4869 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  U. J  /\  0  e.  (
0 [,] 1 ) )  ->  <. s ,  0 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
2421, 22, 23sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  <. s ,  0 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
25 iitopon 18862 . . . . . . . 8  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
26 txtopon 17576 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( J  tX  II )  e.  (TopOn `  ( U. J  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
276, 25, 26sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  tX  II )  e.  (TopOn `  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) )
28 cntop2 17259 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
291, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
30 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. K
3130toptopon 16953 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3229, 31sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
33 cnf2 17267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  tX  II )  e.  (TopOn `  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  H  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )  ->  H : ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) --> U. K )
3427, 32, 15, 33syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : ( U. J  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> U. K )
35 fvco3 5759 . . . . . 6  |-  ( ( H : ( U. J  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> U. K  /\  <. s ,  0 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( P  o.  H
) `  <. s ,  0 >. )  =  ( P `  ( H `
 <. s ,  0
>. ) ) )
3634, 35sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  <. s ,  0 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( P  o.  H
) `  <. s ,  0 >. )  =  ( P `  ( H `
 <. s ,  0
>. ) ) )
3724, 36syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
( P  o.  H
) `  <. s ,  0 >. )  =  ( P `  ( H `
 <. s ,  0
>. ) ) )
38 df-ov 6043 . . . 4  |-  ( s ( P  o.  H
) 0 )  =  ( ( P  o.  H ) `  <. s ,  0 >. )
39 df-ov 6043 . . . . 5  |-  ( s H 0 )  =  ( H `  <. s ,  0 >. )
4039fveq2i 5690 . . . 4  |-  ( P `
 ( s H 0 ) )  =  ( P `  ( H `  <. s ,  0 >. ) )
4137, 38, 403eqtr4g 2461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
s ( P  o.  H ) 0 )  =  ( P `  ( s H 0 ) ) )
424, 30cnf 17264 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
431, 42syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : U. J --> U. K )
44 fvco3 5759 . . . 4  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  s  e.  U. J )  -> 
( ( P  o.  F ) `  s
)  =  ( P `
 ( F `  s ) ) )
4543, 44sylan 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
( P  o.  F
) `  s )  =  ( P `  ( F `  s ) ) )
4620, 41, 453eqtr4d 2446 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
s ( P  o.  H ) 0 )  =  ( ( P  o.  F ) `  s ) )
4718simprd 450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
s H 1 )  =  ( G `  s ) )
4847fveq2d 5691 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  ( P `  ( s H 1 ) )  =  ( P `  ( G `  s ) ) )
49 1elunit 10972 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
50 opelxpi 4869 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  U. J  /\  1  e.  (
0 [,] 1 ) )  ->  <. s ,  1 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
5121, 49, 50sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  <. s ,  1 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
52 fvco3 5759 . . . . . 6  |-  ( ( H : ( U. J  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> U. K  /\  <. s ,  1 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( P  o.  H
) `  <. s ,  1 >. )  =  ( P `  ( H `
 <. s ,  1
>. ) ) )
5334, 52sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  <. s ,  1 >.  e.  ( U. J  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( P  o.  H
) `  <. s ,  1 >. )  =  ( P `  ( H `
 <. s ,  1
>. ) ) )
5451, 53syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
( P  o.  H
) `  <. s ,  1 >. )  =  ( P `  ( H `
 <. s ,  1
>. ) ) )
55 df-ov 6043 . . . 4  |-  ( s ( P  o.  H
) 1 )  =  ( ( P  o.  H ) `  <. s ,  1 >. )
56 df-ov 6043 . . . . 5  |-  ( s H 1 )  =  ( H `  <. s ,  1 >. )
5756fveq2i 5690 . . . 4  |-  ( P `
 ( s H 1 ) )  =  ( P `  ( H `  <. s ,  1 >. ) )
5854, 55, 573eqtr4g 2461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
s ( P  o.  H ) 1 )  =  ( P `  ( s H 1 ) ) )
594, 30cnf 17264 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( J  Cn  K )  ->  G : U. J --> U. K
)
6010, 59syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : U. J --> U. K )
61 fvco3 5759 . . . 4  |-  ( ( G : U. J --> U. K  /\  s  e.  U. J )  -> 
( ( P  o.  G ) `  s
)  =  ( P `
 ( G `  s ) ) )
6260, 61sylan 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
( P  o.  G
) `  s )  =  ( P `  ( G `  s ) ) )
6348, 58, 623eqtr4d 2446 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. J )  ->  (
s ( P  o.  H ) 1 )  =  ( ( P  o.  G ) `  s ) )
646, 9, 12, 17, 46, 63ishtpyd 18953 1  |-  ( ph  ->  ( P  o.  H
)  e.  ( ( P  o.  F ) ( J Htpy  L ) ( P  o.  G
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   <.cop 3777   U.cuni 3975    X. cxp 4835    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947   [,]cicc 10875   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242    tX ctx 17545   IIcii 18858   Htpy chtpy 18945
This theorem is referenced by:  phtpyco2  18968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-tx 17547  df-ii 18860  df-htpy 18948
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