Theorem htpyco1 22585

Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
htpyco1.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃‘𝑥)𝐻𝑦))
htpyco1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpyco1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
htpyco1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ((𝐹 ∘ 𝑃)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝐺 ∘ 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpyco1

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htpyco1.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		htpyco1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		htpyco1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
4		cnco 20880	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐹 ∘ 𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
5	2, 3, 4	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
6		htpyco1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
7		cnco 20880	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐺 ∘ 𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
8	2, 6, 7	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9		htpyco1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃‘𝑥)𝐻𝑦))
10		iitopon 22490	. . . . 5 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
12	1, 11	cnmpt1st 21281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐽))
13	1, 11, 12, 2	cnmpt21f 21285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑃‘𝑥)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
14	1, 11	cnmpt2nd 21282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn II))
15		cntop2 20855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
16	2, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
17		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
18	17	toptopon 20548	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
19	16, 18	sylib 207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
20	19, 3, 6	htpycn 22580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺) ⊆ ((𝐾 ×t II) Cn 𝐿))
21		htpyco1.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺))
22	20, 21	sseldd 3569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐾 ×t II) Cn 𝐿))
23	1, 11, 13, 14, 22	cnmpt22f 21288	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃‘𝑥)𝐻𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
24	9, 23	syl5eqel 2692	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
25		cnf2 20863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑃:𝑋⟶∪ 𝐾)
26	1, 19, 2, 25	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑋⟶∪ 𝐾)
27	26	ffvelrnda 6267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑃‘𝑠) ∈ ∪ 𝐾)
28	19, 3, 6, 21	htpyi 22581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑠) ∈ ∪ 𝐾) → (((𝑃‘𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃‘𝑠)) ∧ ((𝑃‘𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃‘𝑠))))
29	27, 28	syldan 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (((𝑃‘𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃‘𝑠)) ∧ ((𝑃‘𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃‘𝑠))))
30	29	simpld 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → ((𝑃‘𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃‘𝑠)))
31		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → 𝑠 ∈ 𝑋)
32		0elunit 12161	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
33		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑠))
34		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → 𝑦 = 0)
35	33, 34	oveqan12d 6568	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) → ((𝑃‘𝑥)𝐻𝑦) = ((𝑃‘𝑠)𝐻0))
36		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘𝑠)𝐻0) ∈ V
37	35, 9, 36	ovmpt2a 6689	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁0) = ((𝑃‘𝑠)𝐻0))
38	31, 32, 37	sylancl 693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝑁0) = ((𝑃‘𝑠)𝐻0))
39		fvco3 6185	. . . 4 ⊢ ((𝑃:𝑋⟶∪ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘ 𝑃)‘𝑠) = (𝐹‘(𝑃‘𝑠)))
40	26, 39	sylan 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘ 𝑃)‘𝑠) = (𝐹‘(𝑃‘𝑠)))
41	30, 38, 40	3eqtr4d 2654	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝑁0) = ((𝐹 ∘ 𝑃)‘𝑠))
42	29	simprd 478	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → ((𝑃‘𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃‘𝑠)))
43		1elunit 12162	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
44		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → 𝑦 = 1)
45	33, 44	oveqan12d 6568	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) → ((𝑃‘𝑥)𝐻𝑦) = ((𝑃‘𝑠)𝐻1))
46		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘𝑠)𝐻1) ∈ V
47	45, 9, 46	ovmpt2a 6689	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁1) = ((𝑃‘𝑠)𝐻1))
48	31, 43, 47	sylancl 693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝑁1) = ((𝑃‘𝑠)𝐻1))
49		fvco3 6185	. . . 4 ⊢ ((𝑃:𝑋⟶∪ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → ((𝐺 ∘ 𝑃)‘𝑠) = (𝐺‘(𝑃‘𝑠)))
50	26, 49	sylan 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → ((𝐺 ∘ 𝑃)‘𝑠) = (𝐺‘(𝑃‘𝑠)))
51	42, 48, 50	3eqtr4d 2654	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝑁1) = ((𝐺 ∘ 𝑃)‘𝑠))
52	1, 5, 8, 24, 41, 51	ishtpyd 22582	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ((𝐹 ∘ 𝑃)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝐺 ∘ 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∪ cuni 4372   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816  [,]cicc 12049  Topctop 20517  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838   ×_t ctx 21173  IIcii 22486   Htpy chtpy 22574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cn 20841  df-tx 21175  df-ii 22488  df-htpy 22577

This theorem is referenced by: (None)