MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntop2 20855
Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cntop2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2610 . . . 4 𝐾 = 𝐾
31, 2iscn2 20852 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
43simplbi 475 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
54simprd 478 1 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  wral 2896   cuni 4372  ccnv 5037  cima 5041  wf 5800  (class class class)co 6549  Topctop 20517   Cn ccn 20838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-top 20521  df-topon 20523  df-cn 20841
This theorem is referenced by:  cnco  20880  cncls2i  20884  cnntri  20885  cnss1  20890  cncnpi  20892  cncnp2  20895  cnrest  20899  cnrest2r  20901  paste  20908  cncmp  21005  rncmp  21009  cnconn  21035  conima  21038  concn  21039  2ndcomap  21071  kgen2cn  21172  txcnmpt  21237  uptx  21238  lmcn2  21262  xkoco1cn  21270  xkoco2cn  21271  xkococnlem  21272  cnmpt11  21276  cnmpt11f  21277  cnmpt1t  21278  cnmpt12  21280  cnmpt21  21284  cnmpt2t  21286  cnmpt22  21287  cnmpt22f  21288  cnmptcom  21291  cnmpt2k  21301  qtopeu  21329  hmeofval  21371  hmeof1o  21377  hmeontr  21382  hmeores  21384  hmeoqtop  21388  hmphen  21398  reghmph  21406  nrmhmph  21407  txhmeo  21416  xpstopnlem1  21422  flfcntr  21657  cnmpt2pc  22535  ishtpy  22579  htpyco1  22585  htpyco2  22586  isphtpy  22588  phtpyco2  22597  isphtpc  22601  pcofval  22618  pcopt  22630  pcopt2  22631  pcorevlem  22634  pi1cof  22667  pi1coghm  22669  cnmbfm  29652  cnpcon  30466
  Copyright terms: Public domain W3C validator