Theorem ex-prmo 26708

Description: Example for df-prmo 15574: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 11390	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 15581	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 15658	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4046	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2632	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 11506	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6106	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 11069	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 15581	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 15657	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4046	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2632	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 11020	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6106	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 11068	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 15581	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 15656	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4046	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 11019	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6106	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 11067	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 15581	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 15655	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4043	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 11191	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 11187	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 11184	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 11018	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6106	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 15675	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 10981	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 10972	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 11525	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 9926	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 10104	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 32, 40, 41	decmul1 11461	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2636	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2636	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2636	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2636	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  ;cdc 11369  ℙcprime 15223  #_pcprmo 15573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-prmo 15574

This theorem is referenced by: (None)