Theorem eupth2eucrct 41385

Description: Append one path segment to an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ which may not be an (Eulerian) circuit to become an Eulerian circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩ of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
eupthp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
eupthp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n	⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
eupthp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u	⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
eupth2eucrct.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑃‘0))

Assertion

Ref	Expression
eupth2eucrct	⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(CircuitS‘𝑆)𝑄))

Proof of Theorem eupth2eucrct

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthp1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupthp1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupthp1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		eupthp1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5		eupthp1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
6		eupthp1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		eupthp1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8		eupthp1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9		eupthp1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
10		eupthp1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
11		eupthp1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
12		eupthp1.u	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
13		eupthp1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
14		eupthp1.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
15		eupthp1.s	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
16		eupthp1.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	eupthp1 41384	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
18		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
19		eupthistrl 41379	. . . . 5 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 → 𝐻(TrailS‘𝑆)𝑄)
20	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(TrailS‘𝑆)𝑄)
21		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘0))
22		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
23	21, 22	eqeq12d 2625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑄‘0) = (𝑃‘0)))
24		eupthis1wlk 41380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
25	8, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
26	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
27	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9, 10, 11, 26, 13, 14, 27	1wlkp1lem5 40886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
29	2	1wlkf 40819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
30	24, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
31		lencl 13179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
32	9	eleq1i 2679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
33		0elfz 12305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
34	32, 33	sylbir 224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
35	31, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 0 ∈ (0...𝑁))
36	8, 30, 35	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
37	23, 28, 36	rspcdva 3288	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
39		eupth2eucrct.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑃‘0))
40	39	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝐶)
41	40	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑃‘0) = 𝐶)
42	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}))
43	13	fveq2i 6106	. . . . . . . . 9 ⊢ (#‘𝐻) = (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (#‘𝐻) = (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
45		wrdfin 13178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Fin)
46	29, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Fin)
47	8, 24, 46	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐹 ∈ Fin)
49		snfi 7923	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin)
51		wrddm 13167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)))
52	8, 30, 51	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)))
53		fzonel 12352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹))
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
55	9	eleq1i 2679	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
56	54, 55	sylnibr 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
57		eleq2 2677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)) → (𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
58	57	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)) → (¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
59	56, 58	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹))
60		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (#‘𝐹) ∈ V
61	9, 60	eqeltri 2684	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
63	62, 5	opeldmd 5249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ dom 𝐹))
64	59, 63	nsyld 153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
65	52, 64	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
67		disjsn 4192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
68	66, 67	sylibr 223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅)
69		hashun 13032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅) → (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((#‘𝐹) + (#‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
70	48, 50, 68, 69	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((#‘𝐹) + (#‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
71	9	eqcomi 2619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (#‘𝐹) = 𝑁
72		opex 4859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
73		hashsng 13020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → (#‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (#‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1
75	71, 74	oveq12i 6561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐹) + (#‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1)
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((#‘𝐹) + (#‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1))
77	44, 70, 76	3eqtrd 2648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (#‘𝐻) = (𝑁 + 1))
78	42, 77	fveq12d 6109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘(#‘𝐻)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)))
79		ovex 6577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
81	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9	1wlkp1lem1 40882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
82	80, 6, 81	3jca 1235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
83	82	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
84		fsnunfv 6358	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
85	83, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
86	78, 85	eqtr2d 2645	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐶 = (𝑄‘(#‘𝐻)))
87	38, 41, 86	3eqtrd 2648	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))
88		eupthis1wlk 41380	. . . . . 6 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 → 𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄)
89		wlkv 40815	. . . . . 6 ⊢ (𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
90		isCrct 40996	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V) → (𝐻(CircuitS‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(TrailS‘𝑆)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))))
91	88, 89, 90	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 → (𝐻(CircuitS‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(TrailS‘𝑆)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))))
92	91	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐻(CircuitS‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(TrailS‘𝑆)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))))
93	20, 87, 92	mpbir2and 959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(CircuitS‘𝑆)𝑄)
94	18, 93	jca 553	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(CircuitS‘𝑆)𝑄))
95	17, 94	mpdan 699	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(CircuitS‘𝑆)𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  Edgcedga 25792  1Walksc1wlks 40796  TrailSctrls 40899  CircuitSccrcts 40990  EulerPathsceupth 41364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-crcts 40992  df-eupth 41365

This theorem is referenced by: (None)