Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eupth2eucrct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2eucrct 41385
 Description: Append one path segment to an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ which may not be an (Eulerian) circuit to become an Eulerian circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩ of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b (𝜑𝐵 ∈ V)
eupthp1.c (𝜑𝐶𝑉)
eupthp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n 𝑁 = (#‘𝐹)
eupthp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
eupth2eucrct.c (𝜑𝐶 = (𝑃‘0))
Assertion
Ref Expression
eupth2eucrct (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄𝐻(CircuitS‘𝑆)𝑄))

Proof of Theorem eupth2eucrct
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupthp1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eupthp1.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eupthp1.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 eupthp1.a . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
5 eupthp1.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
6 eupthp1.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
7 eupthp1.d . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8 eupthp1.p . . 3 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9 eupthp1.n . . 3 𝑁 = (#‘𝐹)
10 eupthp1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
11 eupthp1.x . . 3 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
12 eupthp1.u . . 3 (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
13 eupthp1.h . . 3 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
14 eupthp1.q . . 3 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
15 eupthp1.s . . 3 (Vtx‘𝑆) = 𝑉
16 eupthp1.l . . 3 ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16eupthp1 41384 . 2 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
18 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
19 eupthistrl 41379 . . . . 5 (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄𝐻(TrailS‘𝑆)𝑄)
2019adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(TrailS‘𝑆)𝑄)
21 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘0))
22 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
2321, 22eqeq12d 2625 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑄𝑘) = (𝑃𝑘) ↔ (𝑄‘0) = (𝑃‘0)))
24 eupthis1wlk 41380 . . . . . . . . 9 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
258, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
2612a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
2715a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9, 10, 11, 26, 13, 14, 271wlkp1lem5 40886 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑘) = (𝑃𝑘))
2921wlkf 40819 . . . . . . . . 9 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
3024, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
31 lencl 13179 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
329eleq1i 2679 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
33 0elfz 12305 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
3432, 33sylbir 224 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
3531, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 0 ∈ (0...𝑁))
368, 30, 353syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
3723, 28, 36rspcdva 3288 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
3837adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
39 eupth2eucrct.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (𝑃‘0))
4039eqcomd 2616 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝐶)
4140adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑃‘0) = 𝐶)
4214a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}))
4313fveq2i 6106 . . . . . . . . 9 (#‘𝐻) = (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
4443a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (#‘𝐻) = (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
45 wrdfin 13178 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹 ∈ Fin)
4629, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Fin)
478, 24, 463syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ Fin)
4847adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐹 ∈ Fin)
49 snfi 7923 . . . . . . . . . 10 {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin)
51 wrddm 13167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)))
528, 30, 513syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)))
53 fzonel 12352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹))
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
559eleq1i 2679 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
5654, 55sylnibr 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
57 eleq2 2677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)) → (𝑁 ∈ dom 𝐹𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
5857notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)) → (¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
5956, 58syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹))
60 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (#‘𝐹) ∈ V
619, 60eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ V)
6362, 5opeldmd 5249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹𝑁 ∈ dom 𝐹))
6459, 63nsyld 153 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
6552, 64mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
6665adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
67 disjsn 4192 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
6866, 67sylibr 223 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅)
69 hashun 13032 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Fin ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅) → (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((#‘𝐹) + (#‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
7048, 50, 68, 69syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((#‘𝐹) + (#‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
719eqcomi 2619 . . . . . . . . . 10 (#‘𝐹) = 𝑁
72 opex 4859 . . . . . . . . . . 11 𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
73 hashsng 13020 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → (#‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1)
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (#‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1
7571, 74oveq12i 6561 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐹) + (#‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1)
7675a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((#‘𝐹) + (#‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1))
7744, 70, 763eqtrd 2648 . . . . . . 7 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (#‘𝐻) = (𝑁 + 1))
7842, 77fveq12d 6109 . . . . . 6 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘(#‘𝐻)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)))
79 ovex 6577 . . . . . . . . . 10 (𝑁 + 1) ∈ V
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
811, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 91wlkp1lem1 40882 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
8280, 6, 813jca 1235 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
8382adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
84 fsnunfv 6358 . . . . . . 7 (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
8583, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
8678, 85eqtr2d 2645 . . . . 5 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐶 = (𝑄‘(#‘𝐻)))
8738, 41, 863eqtrd 2648 . . . 4 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))
88 eupthis1wlk 41380 . . . . . 6 (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄)
89 wlkv 40815 . . . . . 6 (𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
90 isCrct 40996 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V) → (𝐻(CircuitS‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(TrailS‘𝑆)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))))
9188, 89, 903syl 18 . . . . 5 (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 → (𝐻(CircuitS‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(TrailS‘𝑆)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))))
9291adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐻(CircuitS‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(TrailS‘𝑆)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))))
9320, 87, 92mpbir2and 959 . . 3 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(CircuitS‘𝑆)𝑄)
9418, 93jca 553 . 2 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄𝐻(CircuitS‘𝑆)𝑄))
9517, 94mpdan 699 1 (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄𝐻(CircuitS‘𝑆)𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  Edgcedga 25792  1Walksc1wlks 40796  TrailSctrls 40899  CircuitSccrcts 40990  EulerPathsceupth 41364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-crcts 40992  df-eupth 41365 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator