Theorem 1wlkp1lem5 40886

Description: Lemma for 1wlkp1 40890. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
1wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
1wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
1wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
1wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
1wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
1wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
1wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
1wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
1wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
1wlkp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
1wlkp1.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
1wlkp1lem5	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))

Distinct variable group:   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑄(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem 1wlkp1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkp1.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
2	1	fveq1i 6104	. . 3 ⊢ (𝑄‘𝑘) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘)
3		fzp1nel 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)
4		eleq1 2676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
5	4	notbid 307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
6	5	eqcoms 2618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) = 𝑘 → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7	3, 6	mpbiri 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) = 𝑘 → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) = 𝑘 → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
9	8	con2d 128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝑁 + 1) = 𝑘))
10	9	imp 444	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝑁 + 1) = 𝑘)
11	10	neqned 2789	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)
12		fvunsn 6350	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ≠ 𝑘 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
14	2, 13	syl5eq 2656	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
15	14	ralrimiva 2949	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ...cfz 12197  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  Edgcedga 25792  1Walksc1wlks 40796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-z 11255  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  1wlkp1lem6  40887  1wlkp1lem7  40888  1wlkp1lem8  40889  eupth2eucrct  41385