Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptmulf 38827
Description: Function-builder for derivative, product rule. A version of dvmptmul 23530 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptmulf.ph 𝑥𝜑
dvmptmulf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptmulf.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptmulf.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptmulf.ab (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptmulf.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptmulf.d ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊)
dvmptmulf.cd (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
Assertion
Ref Expression
dvmptmulf (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem dvmptmulf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2751 . . . . 5 𝑦(𝐴 · 𝐶)
2 nfcsb1v 3515 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴
3 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥 ·
4 nfcsb1v 3515 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
52, 3, 4nfov 6575 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶)
6 csbeq1a 3508 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑥𝐴)
7 csbeq1a 3508 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
86, 7oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝐶) = (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))
91, 5, 8cbvmpt 4677 . . . 4 (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶)) = (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))
109oveq2i 6560 . . 3 (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶)))
1110a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))))
12 dvmptmulf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
13 dvmptmulf.ph . . . . . 6 𝑥𝜑
14 nfv 1830 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝑋
1513, 14nfan 1816 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑦𝑋)
162nfel1 2765 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ
1715, 16nfim 1813 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
18 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑋𝑦𝑋))
1918anbi2d 736 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝑋) ↔ (𝜑𝑦𝑋)))
206eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
2119, 20imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)))
22 dvmptmulf.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2317, 21, 22chvar 2250 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
24 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑥𝑦
2524nfcsb1 3514 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
26 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥𝑉
2725, 26nfel 2763 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑉
2815, 27nfim 1813 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑉)
29 csbeq1a 3508 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
3029eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝑉𝑦 / 𝑥𝐵𝑉))
3119, 30imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑉)))
32 dvmptmulf.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
3328, 31, 32chvar 2250 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑉)
34 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑦𝐴
35 csbeq1a 3508 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴)
36 csbco 3509 . . . . . . . . . 10 𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑥𝐴
37 csbid 3507 . . . . . . . . . 10 𝑥 / 𝑥𝐴 = 𝐴
3836, 37eqtri 2632 . . . . . . . . 9 𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐴
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐴)
4035, 39eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐴)
412, 34, 40cbvmpt 4677 . . . . . 6 (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
4241oveq2i 6560 . . . . 5 (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴))
4342a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
44 dvmptmulf.ab . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
45 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑦𝐵
4645, 25, 29cbvmpt 4677 . . . . 5 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵)
4746a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
4843, 44, 473eqtrd 2648 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
494nfel1 2765 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ
5015, 49nfim 1813 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
517eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ))
5219, 51imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)))
53 dvmptmulf.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
5450, 52, 53chvar 2250 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
5524nfcsb1 3514 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷
56 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥𝑊
5755, 56nfel 2763 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷𝑊
5815, 57nfim 1813 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐷𝑊)
59 csbeq1a 3508 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷)
6059eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐷𝑊𝑦 / 𝑥𝐷𝑊))
6119, 60imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐷𝑊)))
62 dvmptmulf.d . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊)
6358, 61, 62chvar 2250 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐷𝑊)
64 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑦𝐶
65 eqcom 2617 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
6665imbi1i 338 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶))
67 eqcom 2617 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶)
6867imbi2i 325 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶))
6966, 68bitri 263 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶))
707, 69mpbi 219 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶)
714, 64, 70cbvmpt 4677 . . . . . 6 (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝑋𝐶)
7271oveq2i 6560 . . . . 5 (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶))
7372a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)))
74 dvmptmulf.cd . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
75 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑦𝐷
7675, 55, 59cbvmpt 4677 . . . . 5 (𝑥𝑋𝐷) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐷)
7776a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐷) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐷))
7873, 74, 773eqtrd 2648 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶)) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐷))
7912, 23, 33, 48, 54, 63, 78dvmptmul 23530 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))))
8025, 3, 4nfov 6575 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶)
81 nfcv 2751 . . . . 5 𝑥 +
8255, 3, 2nfov 6575 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴)
8380, 81, 82nfov 6575 . . . 4 𝑥((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))
84 nfcv 2751 . . . 4 𝑦((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))
8565imbi1i 338 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵))
86 eqcom 2617 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
8786imbi2i 325 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
8885, 87bitri 263 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
8929, 88mpbi 219 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
9089, 70oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
9165imbi1i 338 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷))
92 eqcom 2617 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷)
9392imbi2i 325 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑥𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷))
9491, 93bitri 263 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷))
9559, 94mpbi 219 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷)
9695, 40oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴) = (𝐷 · 𝐴))
9790, 96oveq12d 6567 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
9883, 84, 97cbvmpt 4677 . . 3 (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
9998a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
10011, 79, 993eqtrd 2648 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wnf 1699  wcel 1977  csb 3499  {cpr 4127  cmpt 4643  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814   + caddc 9818   · cmul 9820   D cdv 23433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437
This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  38834
  Copyright terms: Public domain W3C validator