Theorem coe1fval3 19399

Description: Univariate power series coefficient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1f2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p	⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
coe1fval3.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))

Assertion

Ref	Expression
coe1fval3	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))

Distinct variable group:   𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem coe1fval3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1fval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2	1	coe1fval 19396	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑦}))))
3		coe1f2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
4		coe1f2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	3, 4, 5	psr1basf 19392	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅))
7		ssv 3588	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ V
8		fss 5969	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ V) → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V)
9	6, 7, 8	sylancl 693	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V)
10		fconst6g 6007	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (1𝑜 × {𝑦}):1𝑜⟶ℕ0)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1𝑜 × {𝑦}):1𝑜⟶ℕ0)
12		nn0ex 11175	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
13		1on 7454	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ On
14	13	elexi 3186	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ V
15	12, 14	elmap 7772	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 × {𝑦}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {𝑦}):1𝑜⟶ℕ0)
16	11, 15	sylibr 223	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1𝑜 × {𝑦}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
17		coe1fval3.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))
19		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V)
20	19	feqmptd 6159	. . . 4 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V → 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝐹‘𝑥)))
21		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1𝑜 × {𝑦}) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(1𝑜 × {𝑦})))
22	16, 18, 20, 21	fmptco 6303	. . 3 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑦}))))
23	9, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑦}))))
24	2, 23	eqtr4d 2647	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ∘ ccom 5042  Oncon0 5640  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440   ↑_𝑚 cmap 7744  ℕ₀cn0 11169  Basecbs 15695  PwSer₁cps1 19366  coe₁cco1 19369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-psr 19177  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-coe1 19374

This theorem is referenced by:  coe1f2  19400  coe1fval2  19401  coe1mul2  19460