Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1f2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1f2 19400
 Description: Functionality of univariate power series coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1f2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p 𝑃 = (PwSer1𝑅)
coe1f2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1f2 (𝐹𝐵𝐴:ℕ0𝐾)

Proof of Theorem coe1f2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1f2.p . . . 4 𝑃 = (PwSer1𝑅)
2 coe1f2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1f2.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
41, 2, 3psr1basf 19392 . . 3 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶𝐾)
5 df1o2 7459 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
6 nn0ex 11175 . . . . 5 0 ∈ V
7 0ex 4718 . . . . 5 ∅ ∈ V
8 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥}))
95, 6, 7, 8mapsnf1o3 7792 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥})):ℕ01-1-onto→(ℕ0𝑚 1𝑜)
10 f1of 6050 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥})):ℕ01-1-onto→(ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0𝑚 1𝑜))
119, 10ax-mp 5 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0𝑚 1𝑜)
12 fco 5971 . . 3 ((𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥}))):ℕ0𝐾)
134, 11, 12sylancl 693 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥}))):ℕ0𝐾)
14 coe1fval.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐹)
1514, 2, 1, 8coe1fval3 19399 . . 3 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥}))))
1615feq1d 5943 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐴:ℕ0𝐾 ↔ (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥}))):ℕ0𝐾))
1713, 16mpbird 246 1 (𝐹𝐵𝐴:ℕ0𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440   ↑𝑚 cmap 7744  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  PwSer1cps1 19366  coe1cco1 19369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-psr 19177  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-coe1 19374 This theorem is referenced by:  coe1f  19402  coe1mul2  19460
 Copyright terms: Public domain W3C validator