MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fval3 Unicode version

Theorem coe1fval3 16561
Description: Univariate power series coeffecient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
coe1f2.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1f2.p  |-  P  =  (PwSer1 `  R )
coe1fval3.g  |-  G  =  ( y  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
coe1fval3  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( F  o.  G ) )
Distinct variable group:    y, F
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)    P( y)    R( y)    G( y)

Proof of Theorem coe1fval3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1fval.a . . 3  |-  A  =  (coe1 `  F )
21coe1fval 16558 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( F `  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
3 coe1f2.p . . . . 5  |-  P  =  (PwSer1 `  R )
4 coe1f2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
5 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
63, 4, 5psr1basf 16554 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  F : ( NN0  ^m  1o ) --> ( Base `  R
) )
7 ssv 3328 . . . 4  |-  ( Base `  R )  C_  _V
8 fss 5558 . . . 4  |-  ( ( F : ( NN0 
^m  1o ) --> (
Base `  R )  /\  ( Base `  R
)  C_  _V )  ->  F : ( NN0 
^m  1o ) --> _V )
96, 7, 8sylancl 644 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  F : ( NN0  ^m  1o ) --> _V )
10 fconst6g 5591 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( 1o 
X.  { y } ) : 1o --> NN0 )
1110adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( F : ( NN0 
^m  1o ) --> _V 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( 1o  X.  { y } ) : 1o --> NN0 )
12 nn0ex 10183 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
13 1on 6690 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
1413elexi 2925 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
1512, 14elmap 7001 . . . . 5  |-  ( ( 1o  X.  { y } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
y } ) : 1o --> NN0 )
1611, 15sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( F : ( NN0 
^m  1o ) --> _V 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( 1o  X.  { y } )  e.  ( NN0  ^m  1o ) )
17 coe1fval3.g . . . . 5  |-  G  =  ( y  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( F : ( NN0  ^m  1o ) --> _V  ->  G  =  ( y  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )
19 id 20 . . . . 5  |-  ( F : ( NN0  ^m  1o ) --> _V  ->  F :
( NN0  ^m  1o ) --> _V )
2019feqmptd 5738 . . . 4  |-  ( F : ( NN0  ^m  1o ) --> _V  ->  F  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( F `  x
) ) )
21 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( x  =  ( 1o  X.  { y } )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 1o 
X.  { y } ) ) )
2216, 18, 20, 21fmptco 5860 . . 3  |-  ( F : ( NN0  ^m  1o ) --> _V  ->  ( F  o.  G )  =  ( y  e.  NN0  |->  ( F `  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) )
239, 22syl 16 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( F  o.  G )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( F `  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
242, 23eqtr4d 2439 1  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( F  o.  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {csn 3774    e. cmpt 4226   Oncon0 4541    X. cxp 4835    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676    ^m cmap 6977   NN0cn0 10177   Basecbs 13424  PwSer1cps1 16524  coe1cco1 16529
This theorem is referenced by:  coe1f2  16562  coe1fval2  16563  coe1mul2  16617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-psr 16372  df-opsr 16380  df-psr1 16531  df-coe1 16536
  Copyright terms: Public domain W3C validator