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Theorem av-numclwwlk3lem 41538
 Description: Lemma for av-numclwwlk3 41539. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 1-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
av-numclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
av-numclwwlk.q 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
av-numclwwlk.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
av-numclwwlk.h 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
av-numclwwlk.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
Assertion
Ref Expression
av-numclwwlk3lem (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐶𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝑉   𝑣,𝐻
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑄(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem av-numclwwlk3lem
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
2 eluz2nn 11602 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 av-numclwwlk.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
43av-numclwwlkovf 41511 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
51, 2, 4syl2an 493 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
65fveq2d 6107 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}))
7 pm4.42 995 . . . . . . . 8 ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
8 nne 2786 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
98anbi2i 726 . . . . . . . . 9 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
109orbi2i 540 . . . . . . . 8 ((((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
117, 10bitri 263 . . . . . . 7 ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
1211a1i 11 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))))
1312rabbidv 3164 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))})
14 unrab 3857 . . . . 5 ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))}
1513, 14syl6eqr 2662 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}))
1615fveq2d 6107 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (#‘({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
17 av-numclwwlk.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1817fusgrvtxfi 40538 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
1918ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑉 ∈ Fin)
2017, 19syl5eqelr 2693 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
21 clwwlksnfi 41220 . . . . . 6 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∈ Fin)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∈ Fin)
23 rabfi 8070 . . . . 5 ((𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∈ Fin)
2422, 23syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∈ Fin)
25 rabfi 8070 . . . . 5 ((𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} ∈ Fin)
2622, 25syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} ∈ Fin)
27 inrab 3858 . . . . 5 ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))}
28 neneq 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0) → ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
2928adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
3029intnand 953 . . . . . . . . . 10 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → ¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
3130imori 428 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
32 ianor 508 . . . . . . . . 9 (¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) ↔ (¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
3331, 32mpbir 220 . . . . . . . 8 ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
3433a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
3534ralrimiva 2949 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
36 rabeq0 3911 . . . . . 6 ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
3735, 36sylibr 223 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))} = ∅)
3827, 37syl5eq 2656 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = ∅)
39 hashun 13032 . . . 4 (({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∈ Fin ∧ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} ∈ Fin ∧ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = ∅) → (#‘({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
4024, 26, 38, 39syl3anc 1318 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
416, 16, 403eqtrd 2648 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
42 av-numclwwlk.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
43 av-numclwwlk.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
4417, 42, 3, 43av-numclwwlkovh 41531 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
451, 2, 44syl2an 493 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
4645fveq2d 6107 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋𝐻𝑁)) = (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
47 av-numclwwlk.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
4847av-numclwwlkovg 41518 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
4948adantll 746 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
5049fveq2d 6107 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋𝐶𝑁)) = (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}))
5146, 50oveq12d 6567 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐶𝑁))) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
5241, 51eqtr4d 2647 1 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐶𝑁))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Fincfn 7841  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤ≥cuz 11563  #chash 12979   lastS clsw 13147  Vtxcvtx 25673   FinUSGraph cfusgr 40535   WWalkSN cwwlksn 41029   ClWWalkSN cclwwlksn 41184 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-fusgr 40536  df-clwwlks 41185  df-clwwlksn 41186 This theorem is referenced by:  av-numclwwlk3  41539
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