Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clwwlksnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlksnfi 41220
 Description: If there is only a finite number of vertices, the number of closed walks of fixed length (as words) is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwwlksnfi ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∈ Fin)

Proof of Theorem clwwlksnfi
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlksn 41189 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁})
21adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁})
3 nnnn0 11176 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
43anim1i 590 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin))
54ancomd 466 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
6 wrdnfi 13193 . . . . . 6 (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)
8 clwwlkssswrd 41218 . . . . . 6 (ClWWalkS‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
9 rabss2 3648 . . . . . 6 ((ClWWalkS‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺) → {𝑤 ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁})
108, 9mp1i 13 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → {𝑤 ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁})
117, 10ssfid 8068 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → {𝑤 ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)
122, 11eqeltrd 2688 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∈ Fin)
1312ex 449 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∈ Fin))
14 df-nel 2783 . . . . . . 7 (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
1514biimpri 217 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∉ ℕ)
1615olcd 407 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ → (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ))
17 clwwlksnndef 41198 . . . . 5 ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) = ∅)
1816, 17syl 17 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) = ∅)
19 0fin 8073 . . . 4 ∅ ∈ Fin
2018, 19syl6eqel 2696 . . 3 𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∈ Fin)
2120a1d 25 . 2 𝑁 ∈ ℕ → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∈ Fin))
2213, 21pm2.61i 175 1 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  ClWWalkScclwwlks 41183   ClWWalkSN cclwwlksn 41184 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-clwwlks 41185  df-clwwlksn 41186 This theorem is referenced by:  qerclwwlksnfi  41257  hashclwwlksn0  41258  av-numclwwlkffin  41512  av-numclwwlk3lem  41538  av-numclwwlk4  41540
 Copyright terms: Public domain W3C validator