Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcf1 19950
 Description: In a nonzero ring, each unit vector is different. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcff.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcff.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcff.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
uvcf1 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼1-1𝐵)

Proof of Theorem uvcf1
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nzrring 19082 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 uvcff.u . . . 4 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
3 uvcff.y . . . 4 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 uvcff.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
52, 3, 4uvcff 19949 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)
61, 5sylan 487 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)
7 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
8 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
97, 8nzrnz 19081 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
109ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
111ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
12 simpllr 795 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝐼𝑊)
13 simplrl 796 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑖𝐼)
142, 11, 12, 13, 7uvcvv1 19947 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → ((𝑈𝑖)‘𝑖) = (1r𝑅))
15 simplrr 797 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑗𝐼)
16 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑖𝑗)
1716necomd 2837 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑗𝑖)
182, 11, 12, 15, 13, 17, 8uvcvv0 19948 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → ((𝑈𝑗)‘𝑖) = (0g𝑅))
1910, 14, 183netr4d 2859 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → ((𝑈𝑖)‘𝑖) ≠ ((𝑈𝑗)‘𝑖))
20 fveq1 6102 . . . . . . 7 ((𝑈𝑖) = (𝑈𝑗) → ((𝑈𝑖)‘𝑖) = ((𝑈𝑗)‘𝑖))
2120necon3i 2814 . . . . . 6 (((𝑈𝑖)‘𝑖) ≠ ((𝑈𝑗)‘𝑖) → (𝑈𝑖) ≠ (𝑈𝑗))
2219, 21syl 17 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑈𝑖) ≠ (𝑈𝑗))
2322ex 449 . . . 4 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) → (𝑖𝑗 → (𝑈𝑖) ≠ (𝑈𝑗)))
2423necon4d 2806 . . 3 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) → ((𝑈𝑖) = (𝑈𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
2524ralrimivva 2954 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → ∀𝑖𝐼𝑗𝐼 ((𝑈𝑖) = (𝑈𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
26 dff13 6416 . 2 (𝑈:𝐼1-1𝐵 ↔ (𝑈:𝐼𝐵 ∧ ∀𝑖𝐼𝑗𝐼 ((𝑈𝑖) = (𝑈𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
276, 25, 26sylanbrc 695 1 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼1-1𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  0gc0g 15923  1rcur 18324  Ringcrg 18370  NzRingcnzr 19078   freeLMod cfrlm 19909   unitVec cuvc 19940 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-nzr 19079  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-uvc 19941 This theorem is referenced by:  frlmlbs  19955  uvcf1o  20004
 Copyright terms: Public domain W3C validator