MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcf1 Structured version   Unicode version

Theorem uvcf1 18216
Description: In a nonzero ring, each unit vector is different. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcff.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
uvcff.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
uvcff.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
uvcf1  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I -1-1-> B )

Proof of Theorem uvcf1
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nzrrng 17342 . . 3  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
2 uvcff.u . . . 4  |-  U  =  ( R unitVec  I )
3 uvcff.y . . . 4  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
4 uvcff.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
52, 3, 4uvcff 18215 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )
61, 5sylan 471 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )
7 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
8 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
97, 8nzrnz 17341 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )
109ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) )
111ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  ->  R  e.  Ring )
12 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  ->  I  e.  W )
13 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  e.  I )
142, 11, 12, 13, 7uvcvv1 18213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( U `  i ) `  i
)  =  ( 1r
`  R ) )
15 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
j  e.  I )
16 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  =/=  j )
1716necomd 2694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
j  =/=  i )
182, 11, 12, 15, 13, 17, 8uvcvv0 18214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( U `  j ) `  i
)  =  ( 0g
`  R ) )
1910, 14, 183netr4d 2634 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( U `  i ) `  i
)  =/=  ( ( U `  j ) `
 i ) )
20 fveq1 5689 . . . . . . 7  |-  ( ( U `  i )  =  ( U `  j )  ->  (
( U `  i
) `  i )  =  ( ( U `
 j ) `  i ) )
2120necon3i 2649 . . . . . 6  |-  ( ( ( U `  i
) `  i )  =/=  ( ( U `  j ) `  i
)  ->  ( U `  i )  =/=  ( U `  j )
)
2219, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( U `  i
)  =/=  ( U `
 j ) )
2322ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  I )
)  ->  ( i  =/=  j  ->  ( U `
 i )  =/=  ( U `  j
) ) )
2423necon4d 2673 . . 3  |-  ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  I )
)  ->  ( ( U `  i )  =  ( U `  j )  ->  i  =  j ) )
2524ralrimivva 2807 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( ( U `  i )  =  ( U `  j )  ->  i  =  j ) )
26 dff13 5970 . 2  |-  ( U : I -1-1-> B  <->  ( U : I --> B  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I  (
( U `  i
)  =  ( U `
 j )  -> 
i  =  j ) ) )
276, 25, 26sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I -1-1-> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714   -->wf 5413   -1-1->wf1 5414   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Basecbs 14173   0gc0g 14377   1rcur 16602   Ringcrg 16644  NzRingcnzr 17338   freeLMod cfrlm 18170   unitVec cuvc 18206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-fz 11437  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-hom 14261  df-cco 14262  df-0g 14379  df-prds 14385  df-pws 14387  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-sra 17252  df-rgmod 17253  df-nzr 17339  df-dsmm 18156  df-frlm 18171  df-uvc 18207
This theorem is referenced by:  frlmlbs  18224  uvcf1o  18274
  Copyright terms: Public domain W3C validator