Theorem uvcvv0 19948

Description: The unit vector is zero at its designated coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcvv.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcvv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
uvcvv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
uvcvv.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
uvcvv0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐼)
uvcvv0.jk	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
uvcvv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uvcvv0	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = 0 )

Proof of Theorem uvcvv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcvv.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		uvcvv.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		uvcvv.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
4		uvcvv0.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐼)
5		uvcvv.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
6		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		uvcvv0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	uvcvval 19944	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ))
9	1, 2, 3, 4, 8	syl31anc 1321	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ))
10		uvcvv0.jk	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
11		nesym 2838	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 = 𝐽)
12	10, 11	sylib 207	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 = 𝐽)
13	12	iffalsed 4047	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ) = 0 )
14	9, 13	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ifcif 4036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0_gc0g 15923  1_rcur 18324   unitVec cuvc 19940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-uvc 19941

This theorem is referenced by:  uvcf1  19950  uvcresum  19951  frlmssuvc1  19952  frlmsslsp  19954  frlmup2  19957