Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgra1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgra1 25902
 Description: The graph with one edge, analogous to umgra1 25855 ( with additional assumption that 𝐵 ≠ 𝐶 since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgra1 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵𝐶𝑉 USGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}))

Proof of Theorem usgra1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 795 . . . . . . 7 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐴𝑋)
2 prex 4836 . . . . . . 7 {𝐵, 𝐶} ∈ V
3 f1osng 6089 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ V) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}})
41, 2, 3sylancl 693 . . . . . 6 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}})
5 f1of1 6049 . . . . . 6 ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}} → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}})
64, 5syl 17 . . . . 5 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}})
7 prelpwi 4842 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉𝐶𝑉) → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 𝑉)
87adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 𝑉)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 𝑉)
10 hashprgOLD 13044 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵𝐶 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
1110adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵𝐶 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
1211biimpa 500 . . . . . . 7 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
13 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (#‘𝑥) = (#‘{𝐵, 𝐶}))
1413eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((#‘𝑥) = 2 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
1514elrab 3331 . . . . . . 7 ({𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
169, 12, 15sylanbrc 695 . . . . . 6 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → {𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
1716snssd 4281 . . . . 5 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
18 f1ss 6019 . . . . 5 (({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}} ∧ {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
196, 17, 18syl2anc 691 . . . 4 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
20 f1dm 6018 . . . . 5 ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
21 f1eq2 6010 . . . . 5 (dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴} → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
2219, 20, 213syl 18 . . . 4 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
2319, 22mpbird 246 . . 3 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
24 simpll 786 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑉𝑊)
25 snex 4835 . . . . 5 {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V
26 isusgra0 25876 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (𝑉 USGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
2724, 25, 26sylancl 693 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑉 USGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
2827adantr 480 . . 3 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → (𝑉 USGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
2923, 28mpbird 246 . 2 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝑉 USGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
3029ex 449 1 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵𝐶𝑉 USGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  2c2 10947  #chash 12979   USGrph cusg 25859 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-usgra 25862 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator