Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgra1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgra1 25855
 Description: The graph with one edge. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgra1 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑉 UMGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})

Proof of Theorem umgra1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 788 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑋)
2 prex 4836 . . . . . 6 {𝐵, 𝐶} ∈ V
3 f1osng 6089 . . . . . 6 ((𝐴𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ V) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}})
41, 2, 3sylancl 693 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}})
5 f1of 6050 . . . . 5 ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}} → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{{𝐵, 𝐶}})
64, 5syl 17 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{{𝐵, 𝐶}})
7 prssi 4293 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉𝐶𝑉) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
87adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
92elpw 4114 . . . . . . . 8 ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
108, 9sylibr 223 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 𝑉)
11 prnzg 4254 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉 → {𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
1211ad2antrl 760 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
13 eldifsn 4260 . . . . . . 7 ({𝐵, 𝐶} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ {𝐵, 𝐶} ≠ ∅))
1410, 12, 13sylanbrc 695 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
15 hashprlei 13107 . . . . . . . 8 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
1615simpri 477 . . . . . . 7 (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2
1716a1i 11 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
18 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (#‘𝑥) = (#‘{𝐵, 𝐶}))
1918breq1d 4593 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((#‘𝑥) ≤ 2 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2))
2019elrab 3331 . . . . . 6 ({𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ↔ ({𝐵, 𝐶} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2))
2114, 17, 20sylanbrc 695 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
2221snssd 4281 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
236, 22fssd 5970 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
24 fdm 5964 . . . . 5 ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
2523, 24syl 17 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
2625feq2d 5944 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}))
2723, 26mpbird 246 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
28 simpll 786 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑉𝑊)
29 snex 4835 . . 3 {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V
30 isumgra 25844 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (𝑉 UMGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}))
3128, 29, 30sylancl 693 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑉 UMGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}))
3227, 31mpbird 246 1 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑉 UMGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  Fincfn 7841   ≤ cle 9954  2c2 10947  #chash 12979   UMGrph cumg 25841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-umgra 25842 This theorem is referenced by:  eupap1  26503  eupath2lem3  26506  vdegp1ai  26511  vdegp1bi  26512
 Copyright terms: Public domain W3C validator