MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgra1 Structured version   Unicode version

Theorem usgra1 23464
Description: The graph with one edge, analogous to umgra1 23432 ( with additional assumption that  B  =/=  C since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgra1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( B  =/=  C  ->  V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) )

Proof of Theorem usgra1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  A  e.  X )
2 prex 4645 . . . . . . 7  |-  { B ,  C }  e.  _V
3 f1osng 5790 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } } )
41, 2, 3sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { B ,  C } } )
5 f1of1 5751 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } }  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } } )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } } )
7 prelpwi 4650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V
)
87adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V )
10 hashprg 12276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( B  =/=  C  <->  (
# `  { B ,  C } )  =  2 ) )
1110adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( B  =/=  C  <->  (
# `  { B ,  C } )  =  2 ) )
1211biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( # `  { B ,  C }
)  =  2 )
13 fveq2 5802 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( # `  x )  =  (
# `  { B ,  C } ) )
1413eqeq1d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( (
# `  x )  =  2  <->  ( # `  { B ,  C }
)  =  2 ) )
1514elrab 3224 . . . . . . 7  |-  ( { B ,  C }  e.  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <-> 
( { B ,  C }  e.  ~P V  /\  ( # `  { B ,  C }
)  =  2 ) )
169, 12, 15sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { B ,  C }  e.  {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
1716snssd 4129 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { { B ,  C } }  C_  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
18 f1ss 5722 . . . . 5  |-  ( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } }  /\  { { B ,  C } }  C_  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 } )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
196, 17, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
20 f1dm 5721 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  dom 
{ <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A } )
21 f1eq2 5713 . . . . 5  |-  ( dom 
{ <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A }  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  {
<. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2219, 20, 213syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2319, 22mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
24 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V  e.  W )
25 snex 4644 . . . . 5  |-  { <. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V
26 isusgra0 23447 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  {
<. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V )  ->  ( V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2724, 25, 26sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2827adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( V USGrph  {
<. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2923, 28mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } )
3029ex 434 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( B  =/=  C  ->  V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   {crab 2803   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   {csn 3988   {cpr 3990   <.cop 3994   class class class wbr 4403   dom cdm 4951   -1-1->wf1 5526   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529   2c2 10485   #chash 12223   USGrph cusg 23436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-hash 12224  df-usgra 23438
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator