MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgra1 Structured version   Unicode version

Theorem usgra1 24987
Description: The graph with one edge, analogous to umgra1 24940 ( with additional assumption that  B  =/=  C since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgra1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( B  =/=  C  ->  V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) )

Proof of Theorem usgra1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  A  e.  X )
2 prex 4655 . . . . . . 7  |-  { B ,  C }  e.  _V
3 f1osng 5860 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } } )
41, 2, 3sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { B ,  C } } )
5 f1of1 5821 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } }  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } } )
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } } )
7 prelpwi 4660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V
)
87adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V )
98adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V )
10 hashprg 12558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( B  =/=  C  <->  (
# `  { B ,  C } )  =  2 ) )
1110adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( B  =/=  C  <->  (
# `  { B ,  C } )  =  2 ) )
1211biimpa 486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( # `  { B ,  C }
)  =  2 )
13 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( # `  x )  =  (
# `  { B ,  C } ) )
1413eqeq1d 2422 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( (
# `  x )  =  2  <->  ( # `  { B ,  C }
)  =  2 ) )
1514elrab 3226 . . . . . . 7  |-  ( { B ,  C }  e.  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <-> 
( { B ,  C }  e.  ~P V  /\  ( # `  { B ,  C }
)  =  2 ) )
169, 12, 15sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { B ,  C }  e.  {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
1716snssd 4139 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { { B ,  C } }  C_  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
18 f1ss 5792 . . . . 5  |-  ( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } }  /\  { { B ,  C } }  C_  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 } )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
196, 17, 18syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
20 f1dm 5791 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  dom 
{ <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A } )
21 f1eq2 5783 . . . . 5  |-  ( dom 
{ <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A }  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  {
<. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2219, 20, 213syl 18 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2319, 22mpbird 235 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
24 simpll 758 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V  e.  W )
25 snex 4654 . . . . 5  |-  { <. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V
26 isusgra0 24961 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  {
<. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V )  ->  ( V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2724, 25, 26sylancl 666 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2827adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( V USGrph  {
<. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2923, 28mpbird 235 . 2  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } )
3029ex 435 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( B  =/=  C  ->  V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   {crab 2777   _Vcvv 3078    C_ wss 3433   ~Pcpw 3976   {csn 3993   {cpr 3995   <.cop 3999   class class class wbr 4417   dom cdm 4845   -1-1->wf1 5589   -1-1-onto->wf1o 5591   ` cfv 5592   2c2 10648   #chash 12501   USGrph cusg 24944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-hash 12502  df-usgra 24947
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator