MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgra1 Structured version   Unicode version

Theorem usgra1 24146
Description: The graph with one edge, analogous to umgra1 24099 ( with additional assumption that  B  =/=  C since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgra1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( B  =/=  C  ->  V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) )

Proof of Theorem usgra1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  A  e.  X )
2 prex 4689 . . . . . . 7  |-  { B ,  C }  e.  _V
3 f1osng 5854 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } } )
41, 2, 3sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { B ,  C } } )
5 f1of1 5815 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } }  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } } )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } } )
7 prelpwi 4694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V
)
87adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V )
10 hashprg 12429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( B  =/=  C  <->  (
# `  { B ,  C } )  =  2 ) )
1110adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( B  =/=  C  <->  (
# `  { B ,  C } )  =  2 ) )
1211biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( # `  { B ,  C }
)  =  2 )
13 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( # `  x )  =  (
# `  { B ,  C } ) )
1413eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( (
# `  x )  =  2  <->  ( # `  { B ,  C }
)  =  2 ) )
1514elrab 3261 . . . . . . 7  |-  ( { B ,  C }  e.  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <-> 
( { B ,  C }  e.  ~P V  /\  ( # `  { B ,  C }
)  =  2 ) )
169, 12, 15sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { B ,  C }  e.  {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
1716snssd 4172 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { { B ,  C } }  C_  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
18 f1ss 5786 . . . . 5  |-  ( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } }  /\  { { B ,  C } }  C_  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 } )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
196, 17, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
20 f1dm 5785 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  dom 
{ <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A } )
21 f1eq2 5777 . . . . 5  |-  ( dom 
{ <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A }  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  {
<. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2219, 20, 213syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2319, 22mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
24 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V  e.  W )
25 snex 4688 . . . . 5  |-  { <. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V
26 isusgra0 24120 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  {
<. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V )  ->  ( V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2724, 25, 26sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2827adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( V USGrph  {
<. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2923, 28mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } )
3029ex 434 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( B  =/=  C  ->  V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   -1-1->wf1 5585   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588   2c2 10586   #chash 12374   USGrph cusg 24103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-hash 12375  df-usgra 24106
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator