Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgra1 Structured version   Unicode version

Theorem usgra1 24987
 Description: The graph with one edge, analogous to umgra1 24940 ( with additional assumption that since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgra1 USGrph

Proof of Theorem usgra1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 767 . . . . . . 7
2 prex 4655 . . . . . . 7
3 f1osng 5860 . . . . . . 7
41, 2, 3sylancl 666 . . . . . 6
5 f1of1 5821 . . . . . 6
64, 5syl 17 . . . . 5
7 prelpwi 4660 . . . . . . . . 9
87adantl 467 . . . . . . . 8
98adantr 466 . . . . . . 7
10 hashprg 12558 . . . . . . . . 9
1110adantl 467 . . . . . . . 8
1211biimpa 486 . . . . . . 7
13 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
1413eqeq1d 2422 . . . . . . . 8
1514elrab 3226 . . . . . . 7
169, 12, 15sylanbrc 668 . . . . . 6
1716snssd 4139 . . . . 5
18 f1ss 5792 . . . . 5
196, 17, 18syl2anc 665 . . . 4
20 f1dm 5791 . . . . 5
21 f1eq2 5783 . . . . 5
2219, 20, 213syl 18 . . . 4
2319, 22mpbird 235 . . 3
24 simpll 758 . . . . 5
25 snex 4654 . . . . 5
26 isusgra0 24961 . . . . 5 USGrph
2724, 25, 26sylancl 666 . . . 4 USGrph
2827adantr 466 . . 3 USGrph
2923, 28mpbird 235 . 2 USGrph
3029ex 435 1 USGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1867   wne 2616  crab 2777  cvv 3078   wss 3433  cpw 3976  csn 3993  cpr 3995  cop 3999   class class class wbr 4417   cdm 4845  wf1 5589  wf1o 5591  cfv 5592  c2 10648  chash 12501   USGrph cusg 24944 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-hash 12502  df-usgra 24947 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator