Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ufldom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ufldom 21576
 Description: The ultrafilter lemma property is a cardinal invariant, so since it transfers to subsets it also transfers over set dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufldom ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)

Proof of Theorem ufldom
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 7855 . . 3 (𝑋 ∈ UFL → (𝑌𝑋 ↔ ∃𝑥(𝑌𝑥𝑥𝑋)))
2 bren 7850 . . . . . . . 8 (𝑌𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥)
32biimpi 205 . . . . . . 7 (𝑌𝑥 → ∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥)
4 ssufl 21532 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ UFL)
5 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑥 ∈ UFL)
6 filfbas 21462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
76adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
8 f1of 6050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑓:𝑌𝑥)
98ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓:𝑌𝑥)
10 fmfil 21558 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ UFL ∧ 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑓:𝑌𝑥) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
115, 7, 9, 10syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
12 ufli 21528 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ UFL ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (UFil‘𝑥)((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
135, 11, 12syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑦 ∈ (UFil‘𝑥)((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
14 f1odm 6054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → dom 𝑓 = 𝑌)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → dom 𝑓 = 𝑌)
16 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓 ∈ V
1716dmex 6991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom 𝑓 ∈ V
1815, 17syl6eqelr 2697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ V)
1918ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑌 ∈ V)
20 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (UFil‘𝑥))
21 f1ocnv 6062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑓:𝑥1-1-onto𝑌)
2221ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑥1-1-onto𝑌)
23 f1of 6050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑌𝑓:𝑥𝑌)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑥𝑌)
25 fmufil 21573 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ 𝑓:𝑥𝑌) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌))
2619, 20, 24, 25syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌))
27 f1ococnv1 6078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑌))
2827ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑌))
2928oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → (𝑌 FilMap (𝑓𝑓)) = (𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌)))
3029fveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔))
315adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑥 ∈ UFL)
327adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
338ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑌𝑥)
34 fmco 21575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑌 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ UFL ∧ 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌)) ∧ (𝑓:𝑥𝑌𝑓:𝑌𝑥)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)))
3519, 31, 32, 24, 33, 34syl32anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)))
36 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌))
37 fmid 21574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) → ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔) = 𝑔)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔) = 𝑔)
3930, 35, 383eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) = 𝑔)
4011adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
41 filfbas 21462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥))
43 ufilfil 21518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) → 𝑦 ∈ (Fil‘𝑥))
44 filfbas 21462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (Fil‘𝑥) → 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥))
4520, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥))
46 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
47 fmss 21560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑌 ∈ V ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥)) ∧ (𝑓:𝑥𝑌 ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
4819, 42, 45, 24, 46, 47syl32anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
4939, 48eqsstr3d 3603 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
50 sseq2 3590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) → (𝑔𝑢𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦)))
5150rspcev 3282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5226, 49, 51syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5313, 52rexlimddv 3017 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5453ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
55 isufl 21527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢))
5618, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢))
5754, 56mpbird 246 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ UFL)
5857ex 449 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑥 ∈ UFL → 𝑌 ∈ UFL))
5958exlimiv 1845 . . . . . . . 8 (∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑥 ∈ UFL → 𝑌 ∈ UFL))
6059imp 444 . . . . . . 7 ((∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ UFL)
613, 4, 60syl2an 493 . . . . . 6 ((𝑌𝑥 ∧ (𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑥𝑋)) → 𝑌 ∈ UFL)
6261an12s 839 . . . . 5 ((𝑋 ∈ UFL ∧ (𝑌𝑥𝑥𝑋)) → 𝑌 ∈ UFL)
6362ex 449 . . . 4 (𝑋 ∈ UFL → ((𝑌𝑥𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ UFL))
6463exlimdv 1848 . . 3 (𝑋 ∈ UFL → (∃𝑥(𝑌𝑥𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ UFL))
651, 64sylbid 229 . 2 (𝑋 ∈ UFL → (𝑌𝑋𝑌 ∈ UFL))
6665imp 444 1 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   I cid 4948  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  fBascfbas 19555  Filcfil 21459  UFilcufil 21513  UFLcufl 21514   FilMap cfm 21547 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-fin 7845  df-fi 8200  df-rest 15906  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-fil 21460  df-ufil 21515  df-ufl 21516  df-fm 21552 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator