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Theorem ufldom 20195
Description: The ultrafilter lemma property is a cardinal invariant, so since it transfers to subsets it also transfers over set dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufldom  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  ~<_  X )  ->  Y  e. UFL )

Proof of Theorem ufldom
Dummy variables  u  x  f  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 7527 . . 3  |-  ( X  e. UFL  ->  ( Y  ~<_  X  <->  E. x ( Y  ~~  x  /\  x  C_  X
) ) )
2 bren 7522 . . . . . . . 8  |-  ( Y 
~~  x  <->  E. f 
f : Y -1-1-onto-> x )
32biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( Y 
~~  x  ->  E. f 
f : Y -1-1-onto-> x )
4 ssufl 20151 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. UFL  /\  x  C_  X )  ->  x  e. UFL )
5 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  x  e. UFL )
6 filfbas 20081 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  ( Fil `  Y
)  ->  g  e.  ( fBas `  Y )
)
76adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  g  e.  (
fBas `  Y )
)
8 f1of 5814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  f : Y --> x )
98ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  f : Y --> x )
10 fmfil 20177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e. UFL  /\  g  e.  ( fBas `  Y
)  /\  f : Y
--> x )  ->  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  e.  ( Fil `  x
) )
115, 7, 9, 10syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  ( ( x 
FilMap  f ) `  g
)  e.  ( Fil `  x ) )
12 ufli 20147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e. UFL  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  e.  ( Fil `  x
) )  ->  E. y  e.  ( UFil `  x
) ( ( x 
FilMap  f ) `  g
)  C_  y )
135, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  E. y  e.  (
UFil `  x )
( ( x  FilMap  f ) `  g ) 
C_  y )
14 f1odm 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  dom  f  =  Y )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  dom  f  =  Y )
16 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  f  e. 
_V
1716dmex 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  f  e.  _V
1815, 17syl6eqelr 2564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  Y  e.  _V )
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  Y  e.  _V )
20 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
y  e.  ( UFil `  x ) )
21 f1ocnv 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  `' f : x -1-1-onto-> Y )
2221ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  `' f : x -1-1-onto-> Y )
23 f1of 5814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' f : x -1-1-onto-> Y  ->  `' f : x --> Y )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  `' f : x --> Y )
25 fmufil 20192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  y  e.  ( UFil `  x )  /\  `' f : x --> Y )  ->  ( ( Y 
FilMap  `' f ) `  y )  e.  (
UFil `  Y )
)
2619, 20, 24, 25syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  `' f ) `  y
)  e.  ( UFil `  Y ) )
27 f1ococnv1 5842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  ( `' f  o.  f )  =  (  _I  |`  Y ) )
2827ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( `' f  o.  f )  =  (  _I  |`  Y )
)
2928oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( Y  FilMap  ( `' f  o.  f ) )  =  ( Y 
FilMap  (  _I  |`  Y ) ) )
3029fveq1d 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  ( `' f  o.  f
) ) `  g
)  =  ( ( Y  FilMap  (  _I  |`  Y ) ) `  g ) )
315adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  x  e. UFL )
327adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
g  e.  ( fBas `  Y ) )
338ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
f : Y --> x )
34 fmco 20194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Y  e.  _V  /\  x  e. UFL  /\  g  e.  ( fBas `  Y
) )  /\  ( `' f : x --> Y  /\  f : Y --> x ) )  ->  ( ( Y 
FilMap  ( `' f  o.  f ) ) `  g )  =  ( ( Y  FilMap  `' f ) `  ( ( x  FilMap  f ) `  g ) ) )
3519, 31, 32, 24, 33, 34syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  ( `' f  o.  f
) ) `  g
)  =  ( ( Y  FilMap  `' f ) `
 ( ( x 
FilMap  f ) `  g
) ) )
36 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
g  e.  ( Fil `  Y ) )
37 fmid 20193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( ( Y  FilMap  (  _I  |`  Y ) ) `  g )  =  g )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  (  _I  |`  Y )
) `  g )  =  g )
3930, 35, 383eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  `' f ) `  (
( x  FilMap  f ) `
 g ) )  =  g )
4011adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( x  FilMap  f ) `  g )  e.  ( Fil `  x
) )
41 filfbas 20081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  FilMap  f ) `
 g )  e.  ( Fil `  x
)  ->  ( (
x  FilMap  f ) `  g )  e.  (
fBas `  x )
)
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( x  FilMap  f ) `  g )  e.  ( fBas `  x
) )
43 ufilfil 20137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( UFil `  x
)  ->  y  e.  ( Fil `  x ) )
44 filfbas 20081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( Fil `  x
)  ->  y  e.  ( fBas `  x )
)
4520, 43, 443syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
y  e.  ( fBas `  x ) )
46 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( x  FilMap  f ) `  g ) 
C_  y )
47 fmss 20179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Y  e.  _V  /\  ( ( x  FilMap  f ) `  g )  e.  ( fBas `  x
)  /\  y  e.  ( fBas `  x )
)  /\  ( `' f : x --> Y  /\  ( ( x  FilMap  f ) `  g ) 
C_  y ) )  ->  ( ( Y 
FilMap  `' f ) `  ( ( x  FilMap  f ) `  g ) )  C_  ( ( Y  FilMap  `' f ) `
 y ) )
4819, 42, 45, 24, 46, 47syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  `' f ) `  (
( x  FilMap  f ) `
 g ) ) 
C_  ( ( Y 
FilMap  `' f ) `  y ) )
4939, 48eqsstr3d 3539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
g  C_  ( ( Y  FilMap  `' f ) `
 y ) )
50 sseq2 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( ( Y 
FilMap  `' f ) `  y )  ->  (
g  C_  u  <->  g  C_  ( ( Y  FilMap  `' f ) `  y
) ) )
5150rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  FilMap  `' f ) `  y
)  e.  ( UFil `  Y )  /\  g  C_  ( ( Y  FilMap  `' f ) `  y
) )  ->  E. u  e.  ( UFil `  Y
) g  C_  u
)
5226, 49, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  E. u  e.  ( UFil `  Y ) g 
C_  u )
5313, 52rexlimddv 2959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  E. u  e.  (
UFil `  Y )
g  C_  u )
5453ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  A. g  e.  ( Fil `  Y ) E. u  e.  ( UFil `  Y
) g  C_  u
)
55 isufl 20146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( Y  e. UFL  <->  A. g  e.  ( Fil `  Y ) E. u  e.  (
UFil `  Y )
g  C_  u )
)
5618, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  ( Y  e. UFL  <->  A. g  e.  ( Fil `  Y
) E. u  e.  ( UFil `  Y
) g  C_  u
) )
5754, 56mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  Y  e. UFL )
5857ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  ( x  e. UFL  ->  Y  e. UFL )
)
5958exlimiv 1698 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  f : Y -1-1-onto-> x  ->  ( x  e. UFL  ->  Y  e. UFL ) )
6059imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( E. f  f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  Y  e. UFL )
613, 4, 60syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( Y  ~~  x  /\  ( X  e. UFL  /\  x  C_  X ) )  ->  Y  e. UFL )
6261an12s 799 . . . . 5  |-  ( ( X  e. UFL  /\  ( Y  ~~  x  /\  x  C_  X ) )  ->  Y  e. UFL )
6362ex 434 . . . 4  |-  ( X  e. UFL  ->  ( ( Y 
~~  x  /\  x  C_  X )  ->  Y  e. UFL ) )
6463exlimdv 1700 . . 3  |-  ( X  e. UFL  ->  ( E. x
( Y  ~~  x  /\  x  C_  X )  ->  Y  e. UFL )
)
651, 64sylbid 215 . 2  |-  ( X  e. UFL  ->  ( Y  ~<_  X  ->  Y  e. UFL )
)
6665imp 429 1  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  ~<_  X )  ->  Y  e. UFL )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    _I cid 4790   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    |` cres 5001    o. ccom 5003   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ~~ cen 7510    ~<_ cdom 7511   fBascfbas 18174   Filcfil 20078   UFilcufil 20132  UFLcufl 20133    FilMap cfm 20166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14671  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-fil 20079  df-ufil 20134  df-ufl 20135  df-fm 20171
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