Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssufl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssufl 21532
 Description: If 𝑌 is a subset of 𝑋 and filters extend to ultrafilters in 𝑋, then they still do in 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssufl ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)

Proof of Theorem ssufl
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 786 . . . . 5 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑋 ∈ UFL)
2 filfbas 21462 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑌))
32adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑌))
4 filsspw 21465 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
54adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
6 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑌𝑋)
7 sspwb 4844 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑋 ↔ 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
86, 7sylib 207 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
95, 8sstrd 3578 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑋)
10 fbasweak 21479 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ UFL) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
113, 9, 1, 10syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
12 fgcl 21492 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋))
14 ufli 21528 . . . . 5 ((𝑋 ∈ UFL ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)
151, 13, 14syl2anc 691 . . . 4 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)
16 ssfg 21486 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
1711, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
1817adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
19 simprr 792 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)
2018, 19sstrd 3578 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑓𝑢)
21 filtop 21469 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌𝑓)
2221ad2antlr 759 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑌𝑓)
2320, 22sseldd 3569 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑌𝑢)
24 simprl 790 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ (UFil‘𝑋))
256adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑌𝑋)
26 trufil 21524 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((𝑢t 𝑌) ∈ (UFil‘𝑌) ↔ 𝑌𝑢))
2724, 25, 26syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → ((𝑢t 𝑌) ∈ (UFil‘𝑌) ↔ 𝑌𝑢))
2823, 27mpbird 246 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → (𝑢t 𝑌) ∈ (UFil‘𝑌))
295adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
30 restid2 15914 . . . . . . 7 ((𝑌𝑓𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌) → (𝑓t 𝑌) = 𝑓)
3122, 29, 30syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → (𝑓t 𝑌) = 𝑓)
32 ssrest 20790 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓𝑢) → (𝑓t 𝑌) ⊆ (𝑢t 𝑌))
3324, 20, 32syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → (𝑓t 𝑌) ⊆ (𝑢t 𝑌))
3431, 33eqsstr3d 3603 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → 𝑓 ⊆ (𝑢t 𝑌))
35 sseq2 3590 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑢t 𝑌) → (𝑓𝑔𝑓 ⊆ (𝑢t 𝑌)))
3635rspcev 3282 . . . . 5 (((𝑢t 𝑌) ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑢t 𝑌)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔)
3728, 34, 36syl2anc 691 . . . 4 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑢 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔)
3815, 37rexlimddv 3017 . . 3 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔)
3938ralrimiva 2949 . 2 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔)
40 ssexg 4732 . . . 4 ((𝑌𝑋𝑋 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ V)
4140ancoms 468 . . 3 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ V)
42 isufl 21527 . . 3 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔))
4341, 42syl 17 . 2 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑌)𝑓𝑔))
4439, 43mpbird 246 1 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↾t crest 15904  fBascfbas 19555  filGencfg 19556  Filcfil 21459  UFilcufil 21513  UFLcufl 21514 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-rest 15906  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-fil 21460  df-ufil 21515  df-ufl 21516 This theorem is referenced by:  ufldom  21576
 Copyright terms: Public domain W3C validator